【微分積分】2-2-2 連続関数の性質｜問題集
1.次の関数は連続関数か答えなさい。
(1)\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{x^2-1}{x+1},x\neq-1 \\ -2,x=-1\end{array}\right.\)
極限値\(\displaystyle \lim_{x\to-1}\frac{x^2-1}{x+1}=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=-2\)
また、\(f(-1)=-2\)より、
\(\displaystyle \lim_{x\to-1}f(x)=f(-1)\)
よって、\(f(x)\)は連続関数
また、\(f(-1)=-2\)より、
\(\displaystyle \lim_{x\to-1}f(x)=f(-1)\)
よって、\(f(x)\)は連続関数
(2)\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^2,x<0 \\ 1-\sqrt{x},x\geqq0\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}-x^2=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}(1-\sqrt{x})=1\)
よって、\(f(x)\)は連続関数ではない。\(x=0\)は真性不連続点
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}(1-\sqrt{x})=1\)
よって、\(f(x)\)は連続関数ではない。\(x=0\)は真性不連続点
2.次の関数が連続関数になるように定数\(a,b\)を求めなさい。
\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{x^2+3x+a}{x-1},x>1 \\ b,x\leqq1\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2+3x+a}{x-1}\)が収束するには、
\(\displaystyle \lim_{x\to1}(x^2+3x+a)=0\)
\(4+a=0\)
\(a=-4\)
このとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2+3x-4}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+4)}{x-1}=5\)
よって、連続関数であるためには、\(b=5\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1}(x^2+3x+a)=0\)
\(4+a=0\)
\(a=-4\)
このとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2+3x-4}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+4)}{x-1}=5\)
よって、連続関数であるためには、\(b=5\)
3.次の関数が\(x=1\)で連続関数になるように\(f(1)\)を定義しなさい。
(1)\(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=2\)
よって、\(f(1)=2\)
よって、\(f(1)=2\)
(2)\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2x^2+1,x<1 \\ 3x^3,x>1\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1-}(2x^2+1)=3\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1+}3x^3=3\)
よって、\(f(1)=3\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1+}3x^3=3\)
よって、\(f(1)=3\)
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