【微分積分】4-2-2 微分積分の基本公式｜要点まとめ

定積分の定義と基本事項

【微分積分の基本公式】
関数\(f(x)\)は区間\(I\)上で連続とし、\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数とする。このとき、\(\alpha,\beta\in I\)に対して
\(\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x)dx=F(\beta)-F(\alpha)\)
が成り立つ。このとき、右辺を\([F(x)]_\alpha^\beta\)と表す。

【定積分で定義された関数の導関数】
関数\(f(x)\)は区間\(I\)上で連続、関数\(a(x)\)と\(b(x)\)は共に区間\(J\)上で微分可能で\(a(x),b(x)\in I\ (x\in J)\)ならば
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt\)
\(\displaystyle \ \ \ =f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)\ \ \ (x\in J)\)
が成り立つ。

【微分積分の基本定理】
関数\(f(x)\)は区間\(I\)上で微分可能で、導関数\(f'(x)\)は\(I\)上で積分可能のとき、\(\alpha,\beta\in I\)ならば
\(\displaystyle \int_\alpha^\beta f'(x)dx=f(\beta)-f(\alpha)\)
が成り立つ。