【微分積分】5-2-1 各点収束と一様収束｜要点まとめ
このページでは、関数列の収束として重要な「各点収束」と「一様収束」について整理します。両者の定義と特徴、収束の違いが生む数学的な影響、さらに連続・積分・微分との関係を中心に、大学数学で必ず押さえておきたい重要ポイントをわかりやすく解説します。関数列の収束挙動を正しく理解するための基礎力を身につけていきましょう。
各点収束の定義と特徴
【各点収束】
関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)と関数\(f\)に対して、任意の\(x\in I\)を固定するときに極限値\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n(x)\)が存在して
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\ (x\in I)\)
となるとき、\(f\)を\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)の極限関数といい、\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(f\)に各点収束するという。また、\(I\)を収束域という。
【例題】次の関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)の極限関数\(f\)を求めなさい。
一様収束の定義と特徴
【一様収束】
関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)と関数\(f\)に対して、「\(\varepsilon>0\)に対して、ある自然数\(N(\varepsilon)\)が存在して、任意の\(x\in I\)と\(n\geqq N(\varepsilon)\)を満たす任意の自然数\(n\)について\(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)を満たす」とき、\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(f\)に一様収束するという。これは上限を用いれば、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=0\)
を満たすことと同値である。