【微分積分】6-1-1 2変数関数の定義｜要点まとめ
このページでは、多変数解析の出発点となる「2変数関数の定義」について整理します。2変数関数の基本的な考え方や表し方、対応するグラフの幾何的意味を確認し、平面の方程式との関係を通して具体的なイメージを身につけます。今後学ぶ偏微分や極値問題を理解するための基礎として、2変数関数の概念を確実に押さえていきましょう。
2変数関数の定義と基本的な考え方
【2変数関数】
\(\mathbb{R}^2\)の部分集合\(D\)に対して、写像\(f:D\Longrightarrow\mathbb{R}\)を2変数関数という。このとき、\(D\)を\(f(x,y)\)の定義域といい、\(\mathbb{R}\)の部分集合
\(f(D)=\{f(x,y)|(x,y)\in D\}\)
を\(f(x,y)\)の値域という。また、\(\mathbb{R}^3\)の部分集合
\(\{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)\in D\}\)
を関数\(z=f(x,y)\)のグラフという。これを曲面\(z=f(x,y)\)ともいう。
【例題】\(f(x,y)=-x+2y+3\)のとき、次の値を求めなさい。
【例題】\(f(x,y)=x^2+y^2\)のとき、次の値を求めなさい。
平面の方程式と2変数関数の関係
【平面の方程式】
\((a,b,c)\neq(0,0,0)\)として\(d\)を実数とする。方程式
\(ax+by+cz+d=0\)
は\(\boldsymbol{n}=(a,b,c)\)に垂直な平面の方程式を表す。
【2次曲面】
(1)楕円面
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
(2)1葉双曲面
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)
(3)2葉双曲面
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\)
(4)2次錐面
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2\)
(5)楕円放物面
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z\)
(6)双曲放物面
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z\)
(7)放物柱
\(\displaystyle x^2=4cy\)
(8)楕円柱
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
(9)双曲柱
\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
【例題】次の曲面を分類しなさい。