1.次の関数の連続性を調べなさい。
(1)\(\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{x^2-y^3}{x^2+y^2}\ \ \ ((x,y)\neq(0,0)) \\ 0\ \ \ ((x,y)=(0,0))\end{array}\right.\)
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2-y^3}{x^2+y^2}\)とおく。
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t^2-0}{t^2+0}=\lim_{t\to0}1=1\)
\(y\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=0,y(t)=t\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(0,t)=\lim_{t\to0}\frac{0-t^3}{0+t^2}=\lim_{t\to0}-t=0\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^3}{x^2+y^2}\)は存在しない。
よって、\(f(x,y)\)は原点で連続でない。
(2)\(\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{l} xy\log(x^2+y^2)\ \ \ ((x,y)\neq(0,0)) \\ 0\ \ \ ((x,y)=(0,0))\end{array}\right.\)
\((x,y)\neq(0,0)\)のとき、
\(|f(x,y)-f(0,0)|=|xy\log(x^2+y^2)-0|\)
相加平均・相乗平均より
\(\displaystyle |xy\log(x^2+y^2)|\leqq\frac{x^2+y^2}{2}|\log(x^2+y^2)|\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)とおくと、\(\displaystyle \lim_{r\to+0}r^2|\log r|=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}|xy\log(x^2+y^2)|=0\)
はさみうちの定理より、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)\)
よって、\(f(x,y)\)は原点で連続である。
(3)\(\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{xy^2}{(x-3)^2+y^2}\ \ \ ((x,y)\neq(3,0)) \\ 0\ \ \ ((x,y)=(3,0))\end{array}\right.\)
\((x,y)\neq(3,0)\)のとき、
\(\displaystyle |f(x,y)-f(3,0)|\)
\(\displaystyle =\left|\frac{xy^2}{(x-3)^2+y^2}-0\right|\)
\(\displaystyle =|x|\frac{y^2}{(x-3)^2+y^2}\)
\(|x|\leqq4\)なので、
\(\displaystyle |f(x,y)-f(3,0)|\)
\(\displaystyle \leqq4\frac{y^2}{(x-3)^2+y^2}\)
\(\displaystyle \leqq4y^2\)
はさみうちの定理より、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(3,0)}f(x,y)=f(3,0)\)
よって、\(f(x,y)\)は\((3,0)\)で連続である。
(4)\(\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{x^2+y^3+y^2}{x^2+y^2}\ \ \ ((x,y)\neq(0,0)) \\ 1\ \ \ ((x,y)=(0,0))\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \frac{x^2+y^3+y^2}{x^2+y^2}=1+\frac{y^3}{x^2+y^2}\)
\((x,y)\neq(0,0)\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y^3}{x^2+y^2}=0\)
すなわち
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=1+0=f(0,0)\)
よって、\(f(x,y)\)は原点で連続である。
(5)\(\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle (x^2+y^2)\sin^{-1}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\ \ \ ((x,y)\neq(0,0)) \\ 0\ \ \ ((x,y)=(0,0))\end{array}\right.\)
\((x,y)\neq(0,0)\)のとき、
\(\displaystyle |f(x,y)-f(0,0)|\)
\(\displaystyle =(x^2+y^2)\left|\sin^{-1}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right|\)
\(-1\leqq\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\leqq1\)なので、
\(\displaystyle \left|\sin^{-1}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right|\leqq\frac{\pi}{2}\)
すなわち
\(\displaystyle 0\leqq|f(x,y)|\leqq\frac{\pi}{2}(x^2+y^2)\)
はさみうちの定理より、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)\)
よって、\(f(x,y)\)は原点で連続である。
