【微分積分】3-6-1 テイラーの定理｜問題集

\(\displaystyle \sqrt{17}=4\sqrt{1+\frac{1}{16}}\)
\(4\sqrt{1+x}\)にマクローリンの定理を適用すると、
\(\displaystyle 4\sqrt{1+x}=4+2x-\frac{1}{2}x^2+\frac{(1+\theta x)^{-\frac{5}{2}}}{4}x^3\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{16}\)を代入すると、
\(\displaystyle \sqrt{17}=4+\frac{1}{8}-\frac{1}{512}+\frac{1}{16384}\left(1+\frac{\theta}{16}\right)^{-\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{2111}{512}+\frac{1}{16384}\left(1+\frac{\theta}{16}\right)^{-\frac{5}{2}}\)
\(\displaystyle \frac{2111}{512}\)において
\(\displaystyle 4.1230<\frac{2111}{512}<4.1231\)
\(\displaystyle \frac{1}{16384}\left(1+\frac{\theta}{16}\right)^{-\frac{5}{2}}\)において、\(0<\theta<1\)より
\(\displaystyle 0<\frac{1}{16384}\left(1+\frac{\theta}{16}\right)^{-\frac{5}{2}}<\frac{1}{16384}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ <\frac{1}{10000}=0.0001\)
すなわち、
\(4.1230+0< \sqrt{17}< 4.1231+0.0001\)
\(4.1230< \sqrt{17}< 4.1232\)
よって、
\(\sqrt{17}\fallingdotseq4.123\)