【微分積分】4-5-8 置換積分の広義積分計算｜問題集

\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\left([-xe^{-x}]_0^t+\int_0^t e^{-x}dx\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\left[-xe^{-x}-e^{-x}\right]_0^t\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}(1-(t+1)e^{-t})\)
\(\displaystyle =1\)

\(u=\log x\)とおくと、\(dx=xdu\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\int_{\log2}^t\frac{1}{u^{\alpha}}du\)
よって、
\(\alpha>1\)のとき、収束する。
\(\alpha\leqq1\)のとき、発散する。

\(u=\log x\)とおくと、\(dx=xdu\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\int_{\log2}^t\frac{e^u}{(e^u)^\alpha u}du\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\int_{\log2}^t\frac{e^{(1-\alpha)u}}{u}du\)
よって、
\(\alpha>1\)のとき、収束する。
\(\alpha\leqq1\)のとき、発散する。