【微分積分】3-5-4 微分法の方程式・不等式｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「微分法の方程式」と「微分法の不等式」について、導関数を用いた解き方を中心に解説します。定義や例題を通して、微分の応用的な考え方を体系的に理解できます。
微分法の方程式
【例題】\(k\)を定数とするとき、方程式\(\log x=kx\)の異なる実数解の個数を求めなさい。
\(\displaystyle k=\frac{\log x}{x}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=e\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)
増減表にまとめると、
よって、\(f(x)=k\)の異なる実数解および求める実数解の個数は
\(\displaystyle k>\frac{1}{e}\)のとき、\(0\)個
\(\displaystyle k\leqq0,k=\frac{1}{e}\)のとき、\(1\)個
\(\displaystyle 0< k< \frac{1}{e}\)のとき、\(2\)個
\(\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=e\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(e\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{1}{e}\) | \(\searrow\) | \(0\) |
\(\displaystyle k>\frac{1}{e}\)のとき、\(0\)個
\(\displaystyle k\leqq0,k=\frac{1}{e}\)のとき、\(1\)個
\(\displaystyle 0< k< \frac{1}{e}\)のとき、\(2\)個
微分法の不等式
【例題】\(0< a< b\)のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。
\(\displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{b-a}\log\frac{b}{a}<\frac{1}{a}\)
\(f(x)=\log x\)とおくと
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\)
区間\([a,b]\)上で微分可能なので平均値の定理より
\(\displaystyle \frac{1}{b-a}\log\frac{b}{a}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)=\frac{1}{c}\)
\(a< c< b\)となる\(c\)が存在し、\(\displaystyle \frac{1}{x}\)は単調減少なので
\(\displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{b-a}\log\frac{b}{a}<\frac{1}{a}\)
が成り立つ。
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\)
区間\([a,b]\)上で微分可能なので平均値の定理より
\(\displaystyle \frac{1}{b-a}\log\frac{b}{a}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)=\frac{1}{c}\)
\(a< c< b\)となる\(c\)が存在し、\(\displaystyle \frac{1}{x}\)は単調減少なので
\(\displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{1}{b}<\frac{1}{b-a}\log\frac{b}{a}<\frac{1}{a}\)
が成り立つ。
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