右極限と左極限とは何ですか？

右極限は、xがある値aに右側（大きい値）から近づくときのf(x)の極限、左極限は左側（小さい値）から近づくときのf(x)の極限です。記号ではそれぞれ lim x→a+ f(x)、lim x→a- f(x) と表されます。

右極限・左極限の計算方法を教えてください。

まず関数が定義されている範囲を確認し、右側・左側それぞれからxをaに近づけて計算します。片側ずつ代入や式変形を行い、lim x→a+ f(x) と lim x→a- f(x) を求めて比較します。

区分的に定義された関数では、左右の式を混同してしまうことがあります。それぞれの定義域を意識して、右側と左側の式を分けて極限を求める練習をすると理解が深まります。

1.次の関数の片側極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{1}{x}\)

(2)\(\displaystyle \lim_{x\to-0}\frac{1}{x}\)

(3)\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{1}{x^2}\)

(4)\(\displaystyle \lim_{x\to-0}\frac{1}{x^2}\)

(5)\(\displaystyle \lim_{x\to1+0}[x]\)

(6)\(\displaystyle \lim_{x\to1-0}[x]\)

(7)\(\displaystyle \lim_{x\to2-}\frac{x-2}{|x-2|}\)

(8)\(\displaystyle \lim_{x\to2+}\frac{x-2}{|x-2|}\)

(9)\(\displaystyle \lim_{x\to1-}\sqrt{|x|-x}\)

(10)\(\displaystyle \lim_{x\to1+}\sqrt{|x|-x}\)

(11)\(\displaystyle \lim_{x\to1-}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\)

(12)\(\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{|x|}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}\)

(13)\(\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{x}{\sqrt{1-\cos x}}\)

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