1.次の関数が原点において偏微分可能か調べなさい。
(1)\(f(x,y)=\sqrt{xy}\)
\(x\)について
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、\(x\)について偏微分可能。
\(y\)について
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、\(y\)について偏微分可能。
(2)\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(x\)について
\(\displaystyle \lim_{h\to+0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to+0}\frac{|h|}{h}\)
\(\displaystyle =1\)
\(\displaystyle \lim_{h\to-0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to-0}\frac{|h|}{h}\)
\(\displaystyle =-1\)
よって、\(x\)について偏微分可能でない。
\(y\)について
\(\displaystyle \lim_{h\to+0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to+0}\frac{|h|}{h}\)
\(\displaystyle =1\)
\(\displaystyle \lim_{h\to-0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to-0}\frac{|h|}{h}\)
\(\displaystyle =-1\)
よって、\(y\)について偏微分可能でない。
(3)\(\displaystyle f(x,y)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{y^3-x^2y}{x^2+y^2}\ \ \ ((x,y)\neq(0,0)) \\ 0\ \ \ ((x,y)=(0,0))\end{array}\right.\)
\(x\)について
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{\frac{0-h^2・0}{h^2+0}}{h}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、\(x\)について偏微分可能。
\(y\)について
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h^3-0・h}{0+h^2}}{h}\)
\(\displaystyle =1\)
よって、\(y\)について偏微分可能。
(4)\(f(x,y)=\log(1+xy+y^2)\)
\(x\)について
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{\log1-\log1}{h}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、\(x\)について偏微分可能。
\(y\)について
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{\log(1+h^2)-\log1}{h}\)
\(\displaystyle \fallingdotseq\lim_{h\to0}\frac{h^2}{h}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、\(y\)について偏微分可能。
