【微分積分】3-4-4 高階微分の漸化式｜要点まとめ

\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^2}\)より、
\((1+x^2)f'(x)=1\)
両辺を\(n\)回微分すると、右辺は\(0\)であるので、
\(\{(1+x^2)f'(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(1+x^2)^{(k)}\{f'(x)\}^{(n-k)}\)
\(=(1+x^2)f^{(n+1)}(x)+n・2x・f^{(n)}(x)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ +\frac{n(n-1)}{2}・2・f^{(n-1)}(x)\)
\(=(1+x^2)f^{(n+1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ +n(n-1)f^{(n-1)}(x)\)
\(=0\)
\(x=0\)を代入すると、
\(f^{(n+1)}(0)+n(n-1)f^{(n-1)}(0)=0\)
すなわち
\(\left\{\begin{array}{l}a_0=f(0)=0 \\ a_1=f'(0)=1 \\ a_{n+1}=-n(n-1)a_{n-1}\end{array}\right.\)
この漸化式を解くと、
\(a_{2n}=-(2n-1)(2n-2)a_{2n-2}=0\)
\(a_{2n-1}=-(2n-2)(2n-3)a_{2n-3}\)
\(=(-1)^{n-1}(2n-2)!\)
よって、
\(\left\{\begin{array}{l}f^{(2n)}(0)=0 \\ f^{(2n-1)}(0)=(-1)^{n-1}(2n-2)!\end{array}\right.\)

\(\displaystyle f'(x)=2\sin^{-1}x・\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)より、
\(\sqrt{1-x^2}f'(x)=2\sin^{-1}x\)
両辺を微分すると、
\(\displaystyle \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}f'(x)+\sqrt{1-x^2}f''(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((1-x^2)f''(x)-xf'(x)=2\)
両辺を\(n\)回微分すると、右辺は\(0\)であるので、
\(\{(1-x^2)f''(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(1-x^2)^{(k)}f^{(n-k+2)}(x)\)
\(=(1-x^2)f^{(n+2)}(x)+n・-2x・f^{(n+1)}(x)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ +\frac{n(n-1)}{2}・-2・f^{(n)}(x)\)
\(=(1-x^2)f^{(n+2)}(x)-2nxf^{(n+1)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ -n(n-1)f^{(n)}(x)\)
\(\{-xf'(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =-\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(x)^{(k)}f^{(n)}(x)\)
\(=-xf^{(n+1)}(x)-nf^{(n)}(x)\)
すなわち
\((1-x^2)f^{(n+2)}(x)-(2n+1)xf^{(n+1)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ -n^2f^{(n)}(x)=0\)
\(x=0\)を代入すると、
\(f^{(n+2)}(0)-n^2f^{(n)}(0)=0\)
すなわち
\(\left\{\begin{array}{l}a_1=f'(0)=0 \\ a_2=f''(0)=2 \\ a_{n+2}=n^2a_{n}\end{array}\right.\)
この漸化式を解くと、
\(a_{2n}=(2n-2)^2a_{2n-2}=2^{2n-1}\{(n-1)!\}^2\)
\(a_{2n-1}=(2n-3)^2a_{2n-3}=0\)
よって、
\(\left\{\begin{array}{l}f^{(2n)}(0)=2^{2n-1}\{(n-1)!\}^2 \\ f^{(2n-1)}(0)=0\end{array}\right.\)