【微分積分】4-5-1 広義積分の計算｜要点まとめ

このページでは、大学数学の微分積分で扱う「広義積分」について整理します。積分区間が無限に伸びる場合や、被積分関数が特異点をもつ場合の積分を、定義・収束判定の考え方・典型例題を通してわかりやすく解説します。広義積分の収束・発散を判断する力を身につけ、計算の基礎力を確実に強化しましょう。

広義積分の定義

【広義積分】
\(a,b\)は実数とする。
(1)関数\(f(x)\)は\([a,b)\)において、不定積分をもつとき
\(\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to b-0}\int_a^tf(x)dx\)

(2)関数\(f(x)\)は\((a,b]\)において、不定積分をもつとき
\(\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to a+0}\int_t^bf(x)dx\)

(3)関数\(f(x)\)は\([a,\infty)\)において、不定積分をもつとき
\(\displaystyle \int_a^\infty f(x)dx=\lim_{t\to\infty}\int_a^tf(x)dx\)

(4)関数\(f(x)\)は\((-\infty,b]\)において、不定積分をもつとき
\(\displaystyle \int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim_{t\to-\infty}\int_t^bf(x)dx\)

これらを広義積分という。右辺の極限値が存在する場合に広義積分は収束するといい、そうでない場合は発散するという。

【例題】次の広義積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)
(2)\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x}dx\)
(3)\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx\)
(4)\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x}dx\)
(5)\(\displaystyle \int_0^\infty xe^{-x}dx\)
(6)\(\displaystyle \int_0^1\log xdx\)
(7)\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)
(8)\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{x^2+4}dx\)
(9)\(\displaystyle \int_0^\infty xe^{-x^2}dx\)
(10)\(\displaystyle \int_e^\infty \frac{\log x}{x^2}dx\)
(11)\(\displaystyle \int_0^1\frac{x\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx\)
(12)\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x(x+2)}dx\)
(13)\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}dx\)
(14)\(\displaystyle \int_3^\infty\frac{6x+24}{(x+1)^3(x^2+3)}dx\)
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