【微分積分】1-4-2 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理｜問題集

\(\displaystyle a_n=(-1)^n\left(1+\frac{2}{n}\right)\)
絶対値を取ると
\(\displaystyle |a_n|=1+\frac{2}{n}\ (n\geqq1)\)
\(|a_n|\)は最大値\(3\)、最小値\(1\)をとるので、
\(-3\leqq a_n\leqq3\)
よって、\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は有界

また、偶数項の部分列を取るとき、
\(\displaystyle a_{2k}=(-1)^{2k}\left(1+\frac{2}{2k}\right)=1+\frac{1}{k}\)
\(\displaystyle \lim_{k\to\infty}a_{2k}=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)=1\)
よって、部分列\(\displaystyle \{a_{2k}\}_{k=1}^\infty\)は\(1\)に収束する。

\(\displaystyle \sin\frac{n\pi}{2}\)は最大値\(1\)、最小値\(-1\)をとるので、
\(-1\leqq a_n\leqq1\)
よって、\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は有界

また、偶数項の部分列を取るとき、
\(a_{2k}=\sin(k\pi)=0\)
よって、部分列\(\displaystyle \{a_{2k}\}_{k=1}^\infty\)は\(0\)に収束する。