【微分積分】2-2-3 有界閉区間の連続関数｜問題集

\(f(x)=x-\cos x\)とおくと、区間\(\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)上で連続である。
\(f(0)=0-1=-1<0\)
\(\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}>0\)
中間値の定理より、
\(\displaystyle 0<\xi<\frac{\pi}{2},f(\xi)=0\)
となる\(\xi\)が存在する。

\(f(x)=2\sin x-x\)とおくと、区間\(\displaystyle \left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)上で連続である。
\(\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2・1-\frac{\pi}{2}=\frac{4-\pi}{2}>0\)
\(f(\pi)=2・0-\pi=-\pi<0\)
中間値の定理より、
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}<\xi<\pi,f(\xi)=0\)
となる\(\xi\)が存在する。

\(\displaystyle f(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\)
よって、
最大値\(:11\)(\(x=-2\)のとき)
最小値\(:-1\)(\(x=1\)のとき)

最大値\(:\)なし(\(x\to0+\)のとき)
最小値\(:1\)(\(x=1\)のとき)

・\(a\leqq0\)のとき、
最大値\(:4-2a\)(\(x=2\)のとき)
最小値\(:0\)(\(x=0\)のとき)

・\(0< a<4\)のとき、
最大値\(:4-2a\)(\(x=2\)のとき)
最小値\(\displaystyle :-\frac{a^2}{4}\)(\(\displaystyle x=\frac{a}{2}\)のとき)

・\(4\leqq a\)のとき、
最大値\(:0\)(\(x=0\)のとき)
最小値\(\displaystyle :-\frac{a^2}{4}\)(\(\displaystyle x=\frac{a}{2}\)のとき)