1.次の級数の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3n+1}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{2n+1}{3n+1}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+1}=\frac{2}{3}\)
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3n+1}\)は発散する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1})\)
\(\displaystyle a_n=\frac{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}{n}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}{n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\right)\)
\(=2\)
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1})\)は発散する。
(3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\cos\frac{\pi}{n}\)
\(\displaystyle a_n=\cos\frac{\pi}{n}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos\frac{\pi}{n}=1\)
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\cos\frac{\pi}{n}\)は発散する。
(4)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}\)
一般項において
\(\displaystyle 0< \frac{n}{n^3+1}< \frac{n}{n^3}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3}\)は収束するので、比較判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}\)は収束する。
(5)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n+2}\)
一般項において
\(\displaystyle 0< \frac{1}{3n+2}< \frac{1}{3n}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n}\)は発散するので、比較判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n+2}\)は発散する。
(6)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\)
一般項において
\(\displaystyle 0< \frac{1}{n^2+1}< \frac{1}{n^2}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)は収束するので、比較判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\)は収束する。
(7)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}\)とおくと
\(\displaystyle \int_1^{\infty}f(x)dx\)
\(\displaystyle =\int_1^{\infty}\frac{\log x}{x}dx\)
\(\displaystyle =\int_0^{\infty}tdt\)
\(=\infty\)
積分判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\)は発散する。
(8)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\)とおくと
\(\displaystyle \int_1^{\infty}f(x)dx\)
\(\displaystyle =\int_1^{\infty}\frac{1}{x}dx\)
\(=\infty\)
積分判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)は発散する。
(9)\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\log n)^2}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(\log x)^2}\)とおくと
\(\displaystyle \int_2^{\infty}f(x)dx\)
\(\displaystyle =\int_2^{\infty}\frac{1}{x(\log x)^2}dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\log2}\)
積分判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\log n)^2}\)は収束する。
(10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{2^{n+1}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)は収束する。
(11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^n}{n!}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{10^n}{n!}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{10^n}{(n+1)!}}{\frac{10^n}{n!}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{10}{n+1}\)
\(\displaystyle =0\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^n}{n!}\)は収束する。
(12)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{n}{3^n}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^n}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n}・\frac{n+1}{3^{n+1}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}\)は収束する。
(13)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{n!}{n^n}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\)
\(\displaystyle =\frac{1}{e}\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}\)は収束する。
(14)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{n^n}{n!}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\)
\(\displaystyle =e\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}\)は発散する。
(15)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{n^2}{2^n}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}\)は収束する。
(16)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{2^n}{n!}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}\)
\(\displaystyle =0\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}\)は収束する。
