【微分積分】2-1-2 右極限と左極限｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「右極限と左極限」について、要点をわかりやすくまとめています。右極限と左極限の定義や違い、極限が存在するための条件を例題を交えて丁寧に解説。極限の理解をより深めたい人に役立つ内容です。
右極限と左極限の定義と意味
【右極限】
関数\(f(x)\)は少なくとも開区間\((a,a+\varepsilon_0)\)で定義されているとする。
実数\(\alpha\)が『任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある\(\delta(\varepsilon)>0\)が存在して、\(a< x< a+\delta(\varepsilon)\)をみたす任意の\(x\)について\(|f(x)-\alpha|<\varepsilon\)をみたす』とき、関数\(f(x)\)の点\(a\)での右極限は\(\alpha\)であるといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=\alpha\ \ \)または\(\ \ f(x)\to \alpha\ \ \ (x\to a+0)\)
で表す。
『任意の\(K>0\)に対して、ある\(\delta(K)>0\)が存在して\(a< x< a+\delta(K)\)をみたす任意の\(x\)について\(f(x)>K\)をみたす』とき、\(f(x)\)は点\(a\)での右極限は\(\infty\)に発散するといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=\infty\)
で表す。
『任意の\(K<0\)に対して、ある\(\delta(K)>0\)が存在して\(a< x< a+\delta(K)\)をみたす任意の\(x\)について\(f(x)< K\)をみたす』とき、\(f(x)\)は点\(a\)での右極限は\(-\infty\)に発散するといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=-\infty\)
で表す。
【左極限】
関数\(f(x)\)は少なくとも開区間\((a-\varepsilon_0,a)\)で定義されているとする。
実数\(\alpha\)が『任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある\(\delta(\varepsilon)>0\)が存在して、\(a-\delta(\varepsilon)< x< a\)をみたす任意の\(x\)について\(|f(x)-\alpha|<\varepsilon\)をみたす』とき、関数\(f(x)\)の点\(a\)での左極限は\(\alpha\)であるといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha\ \ \)または\(\ \ f(x)\to \alpha\ \ \ (x\to a-0)\)
で表す。
『任意の\(K>0\)に対して、ある\(\delta(K)>0\)が存在して\(a-\delta(K)< x< a\)をみたす任意の\(x\)について\(f(x)>K\)をみたす』とき、\(f(x)\)は点\(a\)での左極限は\(\infty\)に発散するといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)=\infty\)
で表す。
『任意の\(K<0\)に対して、ある\(\delta(K)>0\)が存在して\(a-\delta(K)< x< a\)をみたす任意の\(x\)について\(f(x)< K\)をみたす』とき、\(f(x)\)は点\(a\)での左極限は\(-\infty\)に発散するといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty\)
で表す。
【右極限・左極限の略記】
(1)\(\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)=\lim_{x\to a-}f(x)\)
(2)\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)\)
(3)\(a=0\)のとき、\(\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)=\lim_{x\to -0}f(x)\)
(4)\(a=0\)のとき、\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to +0}f(x)\)
【例題】次の関数の片側極限値を求めなさい。
極限が存在するための条件（右極限・左極限の一致）
【極限が存在するための必要十分条件】
\(\alpha\)を実数とする。\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha\)となる必要十分条件は、
\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha\)
となるときである。
\(\alpha=\pm\infty\)のときも同様に成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}\)や\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{|x|}\)は右極限と左極限が異なるため、極限は存在しない。