【微分積分】5-4-1 収束半径｜要点まとめ
このページでは、冪級数の収束性を特徴づける重要な概念である「収束半径」について整理します。収束半径の定義や求め方、収束区間の判定方法を中心に、冪級数がどのような範囲で収束するかを体系的に解説します。さらに、収束半径の境界での性質を理解するために重要なアーベルの連続性定理についても取り上げ、解析学の基礎となる考え方をわかりやすく説明します。
収束半径の定義と基本性質
【整級数の基本定理】
整級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)と\(0\)でない実数\(r\)について、次が成り立つ。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)が\(x=r\)で収束するとき、開区間\((-|r|,|r|)\)上で\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)は広義一様収束かつ絶対収束する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)が\(x=r\)で発散するとき、\(|x|>|y|\)であれば\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)は発散する。
【収束半径】
整級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)について
・\(\displaystyle |x|<\rho \Longrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)は絶対収束
・\(\displaystyle |x|>\rho \Longrightarrow \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)は発散
となる正の実数\(\rho\)が存在するとき、\(\rho\)を\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)の収束半径という。
・全ての実数\(x\)について\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)が絶対収束するときは\(\rho=\infty\)
・\(x\neq0\)ならば\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)が発散するときは\(\rho=0\)
が成り立つ。
【整級数の連続性】
整級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)の収束半径を\(0< \rho\leqq \infty\)のとき、\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)は開区間\((-\rho,\rho)\)上で連続である。
【ダランベール判定法による収束半径の定理】
整級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)について、極限値
\(\displaystyle \rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)
が存在すれば、\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)の収束半径は\(\rho\)である。
【コーシー・アダマール判定法による収束半径の定理】
整級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)について、極限値
\(\displaystyle \rho=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\)
が存在すれば、\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)の収束半径は\(\rho\)である。
【例題】次の整級数の収束半径を求めなさい。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n!}・\frac{(n+1)!}{n+2}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n+2}\)
\(\displaystyle =\infty\)
よって、収束半径は\(\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n+1}・\frac{2^{n+1}+1}{1}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{2^n}}\)
\(\displaystyle =2\)
よって、収束半径は\(2\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}・\frac{1}{n+1}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、収束半径は\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{\log n}}・3^{\log(n+1)}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}3^{\log(1+\frac{1}{n})}\)
\(\displaystyle =1\)
よって、収束半径は\(1\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n(n+1)}y^n\)
\(\displaystyle a_n=\frac{2^n}{n(n+1)}\)とおくと、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n(n+1)}・\frac{(n+1)(n+2)}{2^{n+1}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{n}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_ny^n\)の収束半径は\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)なので、
求める収束半径は\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
アーベルの連続性定理
【アーベルの一様収束定理】
級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n\)が収束するとき、整級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)は閉区間\([0,1]\)上で一様収束する。
【アーベルの連続性定理】
整級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)の収束半径を\(0< \rho< \infty\)とする。\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n\)が収束するとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to\rho-0}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\rho^n\)
が成り立つ。\(x=-\rho\)でも成り立つ。
【例題】次の関数のマクローリン展開を求めなさい。
\(\displaystyle \ \ \ ・\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots\right)\)
\(\displaystyle =x+x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}+\cdots\)