【微分積分】3-5-1 平均値の定理｜問題集
1.次の関数の平均値の定理における\(x\)の値を求めなさい。
(1)\(\displaystyle f(x)=x^3-x^2\ [-1,1]\)
\(f'(x)=3x^2-2x\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=1\)
よって、
\(3x^2-2x=1\)
\((3x+1)(x-1)=0\)
\(-1< x< 1\)より、
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=1\)
よって、
\(3x^2-2x=1\)
\((3x+1)(x-1)=0\)
\(-1< x< 1\)より、
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\)
(2)\(f(x)=\sin^{-1}x\ [0,1]\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{\pi}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle 1-x^2=\left(\frac{2}{\pi}\right)^2\)
\(0< x< 1\)より、
\(\displaystyle x=\sqrt{1-\left(\frac{2}{\pi}\right)^2}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{\pi}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle 1-x^2=\left(\frac{2}{\pi}\right)^2\)
\(0< x< 1\)より、
\(\displaystyle x=\sqrt{1-\left(\frac{2}{\pi}\right)^2}\)
(3)\(f(x)=\log x\ [1,e]\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{f(e)-f(1)}{e-1}=\frac{1}{e-1}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1}{e-1}\)
\(1< x< e\)より、
\(x=e-1\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{f(e)-f(1)}{e-1}=\frac{1}{e-1}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1}{e-1}\)
\(1< x< e\)より、
\(x=e-1\)
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