【微分積分】5-1-3 積級数｜要点まとめ
このページでは、級数どうしの積として定義される「積級数（コーシー積級数）」について整理します。積級数の定義と構成方法、収束が成り立つための条件、そして典型的な計算例を中心に、大学数学で押さえておくべき重要ポイントをわかりやすく解説します。級数の演算やフーリエ解析への応用を理解するための基礎力を身につけていきましょう。
積級数（コーシー積級数）の定義
【コーシー積級数】
\(2\)つの級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n\)と\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_n\)から、次の\(c_n\)を一般項とする級数を作る。
\(\displaystyle c_n=\sum_{n=0}^{n}a_kb_{n-k}\)
\(\ \ \ \ =a_0b_n+a_1b_{n-1}+a_2b_{n-2}+\cdots\)
\(\ \ \ \ \ \ +a_{n-1}b_1+a_nb_0\)
このとき、\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_n\)をコーシー積級数という。
【絶対収束級数のコーシー積級数】
級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n\)と\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}b_n\)が共に絶対収束するとき、コーシー数級数も絶対収束し
\(\displaystyle \left(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\right)\)
が成り立つ。
【例題】次の問いに答えなさい。