【微分積分】3-5-2 関数の増減｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「関数の増減」について、導関数との関係や極値の求め方、増減表の作り方を中心にわかりやすく解説します。定義・証明・例題を通して、関数の変化の仕組みとグラフの形を体系的に理解できます。
導関数と関数の増減の関係
【導関数と関数の増減】
関数\(f(x)\)は閉区間\([a,b]\)上で連続、開区間\((a,b)\)上で微分可能とする。
(1)\(f(x)\)が\([a,b]\)上で定数関数であるための必要十分条件は\(f'(x)=0\ (a< x< b)\)である。
(2)\(f(x)\)が\([a,b]\)上で単調増加であるための必要十分条件は\(f'(x)\geqq0\ (a< x< b)\)である。
(3)\(f(x)\)が\([a,b]\)上で単調減少であるための必要十分条件は\(f'(x)\leqq0\ (a< x< b)\)である。
【例題】次の等式、不等式を証明しなさい。
\(f'(x)\)
\(\displaystyle =2・\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{x^2}}}・\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ -\frac{1}{\sqrt{1-(2x-1)^2}}・2\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\)
\(=0\)
すなわち、\(f(x)\)は\([0,1]\)で定数関数である。
\(f(0)=2\sin^{-1}0+\cos^{-1}(-1)=2・0+\pi=\pi\)
よって、
\(2\sin^{-1}\sqrt{x}+\cos^{-1}(2x-1)=\pi\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{x}{(1+x)^2}\)
ここで、\(x>0\)より、\(\displaystyle \frac{x}{(1+x)^2}>0\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x}{1+x}<\log(1+x)\)
極大・極小の求め方
【極大・極小】
関数\(f(x)\)点\(a\)の近傍で定義されているとする。
(1)ある正の数\(\delta\)が存在して
\(0\neq|x-a|<\delta\)ならば\(f(x)< f(a)\)
が成り立つとき、\(f(x)\)は点\(a\)で極大であるといい、\(f(a)\)を極大値という。
(2)ある正の数\(\delta\)が存在して
\(0\neq|x-a|<\delta\)ならば\(f(x)> f(a)\)
が成り立つとき、\(f(x)\)は点\(a\)で極小であるといい、\(f(a)\)を極小値という。
(3)極大値と極小値をまとめて極値という。
関数\(f(x)\)は点\(a\)で極値をとり、点\(a\)で微分可能ならば\(f'(a)=0\)である。
【例題】次の関数の増減を調べなさい。
\(\displaystyle =\frac{(8x+2)(x^2+1)-(4x^2+2x+4)・2x}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=\pm1\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=4\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(4\) | \(\searrow\) | \(3\) | \(\nearrow\) | \(5\) | \(\searrow\) | \(4\) |
\(x=1\)のとき、最大値\(5\)
\(x=-1\)のとき、最小値\(3\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}・\frac{1}{x^2+1}・2x-\sqrt{3}・\frac{1}{1+x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{x-\sqrt{3}}{x^2+1}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=\sqrt{3}\)のときになる。
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(\sqrt{3}\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(\infty\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle \log2-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\) | \(\nearrow\) | \(4\) |
\(x=\sqrt{3}\)のとき、極小値\(\displaystyle \log2-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-x}}-2・\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}・(-2x)\)
\(\displaystyle =\frac{1+2x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\)のときになる。
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) | \(\cdots\) | \(1\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle -\frac{\pi}{6}-\sqrt{3}\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) |
\(x=1\)のとき、最大値\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\)のとき、最小値\(\displaystyle -\frac{\pi}{6}-\sqrt{3}\)
凸関数とグラフの形の関係
【凸関数】
区間\(I\)上で定義された関数\(f(x)\)が凸関数であるとは、\(I\)の任意の\(2\)点\(a,b(a< b)\)に対して
\(\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\leqq\frac{f(b)-f(x)}{b-x}\ \ \ (a< x< b)\)
が成り立つとき、\(f(x)\)は下に凸である。
\(\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\frac{f(b)-f(x)}{b-x}\ \ \ (a< x< b)\)
が成り立つとき、\(f(x)\)は狭義の凸関数という。
また、\(-f(x)\)が下に凸であるとき、\(f(x)\)は上に凸である。
【2階導関数と凸関数】
関数\(f(x)\)が区間\(I\)上で連続で、\(I\)の端点を除いた開区間\(\bar{I}\)で\(2\)回微分可能であるとする。
(1)\(f(x)\)が\(I\)上の凸関数であるための必要十分条件は、開区間\(\bar{I}\)で\(f''(x)\geqq0\)となることである。
(2)開区間\(\bar{I}\)で\(f''(x)>0\)ならば、\(f(x)\)は\(I\)上の狭義の凸関数である。
【例題】次の関数の凹凸を調べなさい。
\(\displaystyle =\frac{(8x+2)(x^2+1)-(4x^2+2x+4)・2x}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}\)
\(f''(x)\)
\(\displaystyle =\frac{-4x(x^2+1)^2-(-2x^2+2)・2(x^2+1)・2x}{(x^2+1)^4}\)
\(\displaystyle =\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\)
\(\displaystyle =\frac{4x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{(x^2+1)^3}\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=0,\pm\sqrt{3}\)のときになる。
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-\sqrt{3}\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\sqrt{3}\) | \(\cdots\) |
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(\searrow\) | \(\frac{8-\sqrt{3}}{2}\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\nearrow\) | \(\frac{8+\sqrt{3}}{2}\) | \(\searrow\) |
\(-\infty< x\leqq -\sqrt{3},0\leqq x\leqq \sqrt{3}\)のとき、上に凸
\(-\sqrt{3}\leqq x\leqq 0,\sqrt{3}\leqq x< \infty\)のとき、下に凸