【微分積分】4-8-1 極限公式｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「極限公式」について整理します。特に重要なウォリスの公式とスターリングの公式を中心に、公式の成り立ちや背景となる考え方、典型的な利用場面を例題とともにわかりやすく解説します。極限計算の基礎となる主要公式を体系的に理解し、応用問題にも対応できる力を身につけていきましょう。
ウォリスの公式
【ウォリスの公式】
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}・\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}・\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!}\)
\(\displaystyle \ \ \ =\sqrt{\pi}\)
【例題】次の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}xdx\)
\(\displaystyle =\sqrt{n}・\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}・\frac{\pi}{2}\)
ウォリスの公式より、
\(\displaystyle =\sqrt{n}・\frac{1}{\sqrt{\pi n}}・\frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
ウォリスの公式より、
\(\displaystyle =\sqrt{n}・\frac{1}{\sqrt{\pi n}}・\frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
スターリングの公式
【スターリングの公式】
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}}=1\)
【例題】次の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}\)
スターリングの公式より、
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}{n^n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\sqrt{2\pi n}e^{-n}\)
\(\displaystyle =0\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}{n^n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\sqrt{2\pi n}e^{-n}\)
\(\displaystyle =0\)
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