【微分積分】4-7-3 面積・曲線の長さの計算｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「面積・曲線の長さの計算」について要点を整理して解説します。2曲線で囲まれる領域の面積や、関数のグラフが描く曲線の長さをどのように積分で求めるかを、基本公式から丁寧に確認します。さらに、極方程式を用いた面積・長さの計算や広義積分が関わる場合の注意点もまとめ、典型問題を確実に解けるようになるための理解をサポートします。
面積・曲線の長さの計算
【例題】\(a>0,0\leqq t\leqq 2\pi\)のとき、パラメータ表示された次の曲線を\(C\)とする。
\(\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.\)
(1)曲線\(C\)と\(x\)軸が囲む部分の面積\(S\)を求めなさい。
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=a(1-\cos t)\geqq 0,y\geqq0\)より、
求める面積\(S\)は
\(\displaystyle S=\int_0^{2\pi a}ydx\)
\(\displaystyle =\int_0^{2\pi}a(1-\cos t)・a(1-\cos t)dt\)
\(\displaystyle =a^2\int_0^{2\pi}(1-2\cos t+\cos^2t)dt\)
\(\displaystyle =a^2\int_0^{2\pi}\left(\frac{3}{2}-2\cos t+\frac{1}{2}\cos2t\right)dt\)
\(\displaystyle =a^2\left[\frac{3}{2}t-2\sin t+\frac{1}{4}\sin2t\right]_0^{2\pi}\)
\(\displaystyle =3\pi a^2\)
(2)曲線\(C\)の長さ\(L\)を求めなさい。
求める弧長\(L\)は
\(\displaystyle L=\int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\)
\(\displaystyle =\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2t}dt\)
\(\displaystyle =\int_0^{2\pi}\sqrt{2a^2(1-\cos t)}dt\)
\(\displaystyle =\int_0^{2\pi}2a\sin\frac{t}{2}dt\)
\(\displaystyle =-4a\left[\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi}\)
\(\displaystyle =8a\)
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