【微分積分】4-5-6 無限小比較｜問題集

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2+1}{\sqrt{x^6+1}}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+x}{\sqrt{x^6+1}}=1\)
\(\displaystyle \frac{x^2+1}{\sqrt{x^6+1}}\)は\(x\to\infty\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{x}\)と同位の無限小である。
よって、
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x}dx\)は発散するので、
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{x^2+1}{\sqrt{x^6+1}}dx\)は発散する。

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x}{e^x+1}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{e^x+1}=0\)
\(\displaystyle \frac{x}{e^x+1}\)は\(x\to\infty\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{x^2}\)より高位の無限小である。
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{x}{e^x+1}dx\)は収束する。
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x}{e^x+1}dx\)
\(\displaystyle \ \ \ =\int_0^1\frac{x}{e^x+1}dx+\int_1^\infty\frac{x}{e^x+1}dx\)
第\(1\)項と第\(2\)項は共に収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x}{e^x+1}dx\)は収束する。