【微分積分】2-3-3 逆三角関数｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で登場する「逆三角関数」について、要点をわかりやすくまとめています。\(\sin^{-1}\)、\(\cos^{-1}\)、\(\tan^{-1}\)の定義、定義域と値域、グラフや性質を整理し、関数の理解を深めたい人に役立ちます。
逆三角関数の定義と表記
【逆三角関数】
三角関数は周期関数であるから、その定義域全体では単調関数ではない。そこで、定義域を制限すれば、
\(\sin x\)は閉空間\(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)で狭義単調増加かつ連続
\(\cos x\)は閉空間\([0,\pi]\)で狭義単調減少かつ連続
\(\tan x\)は開空間\(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)で狭義単調増加かつ連続
となり、それぞれ逆関数が存在する。
\(\displaystyle \sin x:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\)の逆関数を\(\sin^{-1}x\ \ \ (-1\leqq x\leqq 1)\)
\(\cos x:[0,\pi]\to[-1,1]\)の逆関数を\(\cos^{-1}x\ \ \ (-1\leqq x\leqq 1)\)
\(\displaystyle \tan x:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}\)の逆関数を\(\tan^{-1}x\ \ \ (x\in\mathbb{R})\)
で表し、これらを逆三角関数という。
\(\sin^{-1}x\)、\(\cos^{-1}x\)、\(\tan^{-1}x\)はそれぞれ逆正弦(アークサイン)、逆余弦(アークコサイン)、逆正接(アークタンジェント)といい、\(\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta\)の逆関数である。
【逆三角関数の基本公式】
(1)\(\displaystyle \sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\)
(2)\(\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x\)
(3)\(\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x\)
【例題】次の値を求めなさい。
\(\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{2}\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}\)
よって、
\(\displaystyle \sin^{-1}\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}\)
\(\displaystyle \tan\theta=-\sqrt{3}\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{3}\)
よって、
\(\displaystyle \tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}\)
\(\displaystyle \tan\alpha=2\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle \tan\beta=3\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}\right)\)
加法定理より
\(\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\frac{2+3}{1-6}=-1\)
ここで、\(1<\tan\alpha<\tan\beta\)なので、\(\displaystyle \frac{\pi}{4}<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=-1\ \ \ \left(\frac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\pi\right)\)
\(\displaystyle \alpha+\beta=\frac{3}{4}\pi\)
よって、
\(\displaystyle \tan^{-1}2+\tan^{-1}3=\frac{3}{4}\pi\)
\(\displaystyle \tan\alpha=\sqrt{2}-1\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)\)
二倍角の定理より
\(\displaystyle \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{1-(\sqrt{2}-1)^2}=1\)
ここで、\(\tan\alpha>0\)なので、\(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\)
\(\tan2\alpha=1\ \ \ (0<2\alpha<\pi)\)
\(\displaystyle 2\alpha=\frac{\pi}{4}\)
よって、
\(\displaystyle 2\tan^{-1}(\sqrt{2}-1)=\frac{\pi}{4}\)
\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{1}{7}\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle \sin\beta=\frac{11}{14}\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}\leqq\beta\leqq\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt{7^2-1^2}}{7}=\frac{4\sqrt{3}}{7}\)
\(\displaystyle \cos\beta=\frac{\sqrt{14^2-11^2}}{14}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\)
加法定理より
\(\cos(\alpha+\beta)\)
\(=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)
\(\displaystyle =\frac{4\sqrt{3}}{7}・\frac{5\sqrt{3}}{14}-\frac{1}{7}・\frac{11}{14}\)
\(\displaystyle =\frac{49}{98}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
ここで、
\(\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\ \ \ (0<\alpha+\beta<\pi)\)
\(\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{3}\)
よって、
\(\displaystyle \sin^{-1}\frac{1}{7}+\sin^{-1}\frac{11}{14}=\frac{\pi}{3}\)
\(\displaystyle \sin\alpha=\sin\frac{3}{5}\pi\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi\)
よって、
\(\displaystyle \sin^{-1}\left(\sin\frac{3}{5}\pi\right)=\frac{2}{5}\pi\)
\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{1}{5}\ \ \ \left(-\frac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle \cos\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\)
よって、
\(\displaystyle \tan\left(\sin^{-1}\frac{1}{5}\right)=\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{2\sqrt{6}}\)