【微分積分】4-1-3 連続関数の積分｜要点まとめ
このページでは、微分積分で重要となる「連続関数の積分」について、上積分・下積分、関数の振幅、可積分性の判定などを体系的に整理しています。連続関数がリーマン積分可能となる理由を理解し、定積分の定義と積分計算の前提知識を確実に身につけましょう。
連続関数の積分の性質
【有界閉区間上の連続関数の積分可能性】
関数\(f(x)\)が有界閉区間\(I\)上で連続ならば、\(f(x)\)は\(I\)上で積分可能である。
【連続関数に関する積分の単調性】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)は共に有界閉区間\(I=[a,b]\)上で連続であり、
\(f(x)\leqq g(x)\ \ \ (a\leqq x\leqq b)\)
かつ\(f(\xi)< g(\xi)\)となる\(\xi\in I\)が存在するとき、
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx< \int_a^b g(x)dx\)
が成り立つ。
【積分法の平均値の定理】
関数\(f(x)\)が有界閉区間\(I=[a,b]\)上で連続のとき、
\(\displaystyle \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx=f(c)\ \ \ (a< c< b)\)
を満たす\(c\)が存在する。
【例題】次の定積分の平均値を求めなさい。
\(\displaystyle \int_0^2(x^2+1)dx=\frac{14}{3}\)
よって、平均値は
\(\displaystyle \frac{1}{2-0}\int_0^2(x^2+1)dx=\frac{7}{3}\)
連続関数の可積分性
【積分の区間についての加法性】
\(a< b< c\)のとき、関数\(f(x)\)が有界閉区間\(I=[a,b]\)上で積分可能ならば、\(f(x)\)は\([a,c]\)および\([c,b]\)上でも積分可能で
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx\)
が成り立つ。逆に\(f(x)\)が\([a,c]\)および\([c,b]\)上でも積分可能ならば、\([a,b]\)上でも積分可能で上記の等式が成り立つ。
【積分可能な関数の積の可積分性】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)が共に有界閉区間\(I\)上で積分可能のとき、積\(f(x)g(x)\)も\(I\)上で積分可能である。
【積分可能な関数の商の可積分性】
関数\(f(x)\)が有界閉区間\(I\)上で積分可能で\(f(x)\neq0\)であり、\(\displaystyle \frac{1}{f(x)}\)が\(I\)上で有界のとき、関数\(\displaystyle \frac{1}{f(x)}\)も\(I\)上で積分可能である。
【積分における三角不等式】
関数\(f(x)\)は有界閉区間\(I=[a,b]\)上で積分可能とする。\(|f(x)|\)も\(I\)上で積分可能で
\(\displaystyle \left|\int_a^b f(x)dx\right|=\int_a^b|f(x)|dx\)
が成り立つ。