【微分積分】4-1-2 積分の性質｜要点まとめ

積分の性質

【積分の線形性】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)は共に有界閉区間\(I=[a,b]\)上で積分可能とする。このとき、定数\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)に対して、関数\(\lambda f(x)+\mu g(x)\)も\(I\)上で積分可能で
\(\displaystyle \int_a^b \{\lambda f(x)+\mu g(x)\}dx\)
\(\displaystyle \ \ \ =\lambda\int_a^b f(x)dx+\mu\int_a^b g(x)dx\)
が成り立つ。

【積分の単調性】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)は共に有界閉区間\(I=[a,b]\)上で積分可能とする。このとき、
\(f(x)\leqq g(x)\ \ \ (x\in I)\)
を満たすとき
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\leqq \int_a^b g(x)dx\)
が成り立つ。特に、
\(\displaystyle g(x)\geqq0\ (x\in I)\Rightarrow \int_a^b g(x)dx\geqq0\)
になる。

【積分一致の定理】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)は共に有界閉区間\(I=[a,b]\)上で有界な関数で、\(I\)の有限個の点を除いて\(f(x)=g(x)\)とする。このとき、\(f(x)\)が\(I\)上で積分可能ならば、\(g(x)\)も\(I\)上で積分可能で
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_a^b g(x)dx\)
が成り立つ。

積分可能条件

【不足和・過剰和】
関数\(f(x)\)は有界閉区間\(I=[a,b]\)上で有界とする。\(I\)の分割を\(\Delta=\{x_k\}_{k=0}^n\)とし、\(I_k=[x_{k-1},x_k]\)および
\(\displaystyle m_k(f;\Delta)=\inf_{x\in I_k}f(x),\ M_k(f;\Delta)=\sup_{x\in I_k}f(x) \)
とおくとき
\(\displaystyle s_\Delta(f):=\sum_{k=1}^{n}m_k(f;\Delta)(x_k-x_{k-1}),\)
\(\displaystyle S_\Delta(f):=\sum_{k=1}^{n}M_k(f;\Delta)(x_k-x_{k-1})\)
をそれぞれ\(f(x)\)の分割\(\Delta\)に関する不足和、過剰和という。

【上積分・下積分】
関数\(f(x)\)は有界閉区間\(I=[a,b]\)上で有界とする。
(1)過剰和\(S_\Delta(f)\)について、\(I\)の全ての分割\(\Delta\)に関する下限を \(\displaystyle \overline{\int_a^b} f(x)dx=\inf_{\Delta}S_\Delta(f)\)
とおき、\(f(x)\)の\(I\)における上積分という。
(2)不足和\(s_\Delta(f)\)について、\(I\)の全ての分割\(\Delta\)に関する上限を \(\displaystyle \underline{\int_a^b} f(x)dx=\sup_{\Delta}s_\Delta(f)\)
とおき、\(f(x)\)の\(I\)における下積分という。

【ダルブーの定理】
関数\(f(x)\)は有界閉区間\(I=[a,b]\)上で有界とする。このとき、\(f(x)\)の過剰和\(S_\Delta(f)\)と不足和\(s_\Delta(f)\)は\(|\Delta|\to0\)で収束して
\(\displaystyle \lim_{|\Delta|\to0}S_\Delta(f)=\overline{\int_a^b} f(x)dx\)
\(\displaystyle \lim_{|\Delta|\to0}s_\Delta(f)=\underline{\int_a^b} f(x)dx\)
が成り立つ。

【関数の振幅】
関数\(f(x)\)は有界閉区間\(I=[a,b]\)上で有界とする。
\(\displaystyle \omega(f,I):=\sup_{x\in I}f(x)-\inf_{x\in I}f(x)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sup_{x,y\in I}|f(x)-f(y)|\)
とおき、\(f(x)\)の\(I\)における振幅という。

【積分可能であるための必要十分条件】
有界閉区間\(I=[a,b]\)上の有界な関数\(f(x)\)に対して、次の条件は全て同値である。
(1)\(f(x)\)は\(I\)上で積分可能
(2)\(\displaystyle \lim_{|\Delta|\to0}S_\Delta(f)=\lim_{|\Delta|\to0}s_\Delta(f)\)
(3)\(I\)の分割\(\Delta=\{x_k\}_{k=0}^n\)に対して、\(I_k=[x_{k-1},x_k]\)とおくと、
\(\displaystyle \lim_{|\Delta|\to0}\sum_{k=1}^{n}\omega(f,I_k)(x_k-x_{k-1})=0\)

【有界閉区間上の単調関数の積分可能性】
関数\(f(x)\)は有界閉区間\(I=[a,b]\)上で単調増加または単調減少とする。このとき、\(f(x)\)は\(I\)上で積分可能である。