【微分積分】5-1-2 絶対収束と条件収束｜問題集

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(-1)^n\neq0\)より、
級数は発散する。

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^2n}{n+1}\neq0\)より、
級数は発散する。

\(\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}\)とおくと
\(\displaystyle a_n>\frac{n}{n^2+3n^2+n^2}=\frac{1}{5n}\ (n\geqq1)\)
\(\displaystyle \int_{1}^{\infty}f(x)dx\)
\(\displaystyle =\int_{1}^{\infty}\frac{\log x}{x}dx\)
\(\displaystyle =\int_{0}^{\infty}\frac tdt\)
\(=\infty\)
積分判定法より、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n}\)も発散する。
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\log n}{n}\)は条件収束する。

\(\displaystyle a_n=\frac{n}{3^n}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3^{n+1}}・\frac{3^n}{n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は収束する。
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n}{3^n}\)は絶対収束する。

\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}< \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)は収束するので、
比較判定法より、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)も収束する。
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)は絶対収束する。

\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2n-1}\)とおくと
\(\displaystyle a_n<\frac{n}{2n-1}\ (n\geqq1)\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\)は発散するので、
比較判定法より、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)も発散する。
すなわち、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}\)は絶対収束しない。
また、\(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)は単調減少数列で、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)である。
ライプニッツの定理より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\)は条件収束する。

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x\log x}\)とおくと
\(\displaystyle \int_2^{\infty}f(x)dx\)
\(\displaystyle =\int_2^{\infty}\frac{1}{x\log x}dx\)
\(\displaystyle =\int_{\log2}^{\infty}\frac{1}{t}dt\)
\(=\infty\)
積分判定法より、\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n}\)も発散する。
すなわち、\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n\log n}\)は絶対収束しない。
また、\(\{a_n\}_{n=2}^{\infty}\)は単調減少数列で、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)である。
ライプニッツの定理より
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\log n}\)は条件収束する。

\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^3+n}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^3+n}}< \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)は収束するので、
比較判定法より、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^3+n}}\)も収束する。
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n\pi}{\sqrt{n^3+n}}\)は絶対収束する。