【微分積分】4-5-2 広義積分の収束発散｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「広義積分の収束発散」について整理します。無限区間の積分や特異点を含む積分が収束する条件を、定義や判定法、具体的な例題を通してわかりやすく解説します。比較判定法・極限処理など、収束判定の考え方をしっかり身につけ、広義積分の理解をより確かなものにしていきましょう。
広義積分の収束と発散の考え方
【例題】次の広義積分の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\frac{x}{x^2+1}dx\)
\(\displaystyle =\int_{-\infty}^0\frac{x}{x^2+1}dx+\int_0^\infty\frac{x}{x^2+1}dx\)
第\(2\)項において
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x}{x^2+1}dx=\lim_{t\to\infty}\int_0^t\frac{1}{x^2+1}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2}\log(t^2+1)\)
\(\displaystyle =\infty\)
よって、発散する。
第\(2\)項において
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{x}{x^2+1}dx=\lim_{t\to\infty}\int_0^t\frac{1}{x^2+1}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2}\log(t^2+1)\)
\(\displaystyle =\infty\)
よって、発散する。
【例題】\([x]\)を\(x\)が超えない最大の整数とするとき、次の積分を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \int_0^2[x]dx\)
\(\displaystyle =\int_0^1[x]dx+\int_1^2[x]dx\)
\(\displaystyle =0+1\)
\(\displaystyle =1\)
\(\displaystyle =0+1\)
\(\displaystyle =1\)
次の学習に進もう！