【微分積分】1-4-3 コーシー列｜問題集
1.数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)と\(\{b_n\}_{n=1}^\infty\)がともにコーシー列のとき、数列\(\{a_n+b_n\}_{n=1}^\infty\)もコーシー列であることを証明しなさい。
\(\{a_n\}\)と\(\{b_n\}\)がコーシー列なので、任意の\(\varepsilon>0\)に対して、
\(\displaystyle |a_n-a_m|<\frac{\varepsilon}{2},|b_n-b_m|<\frac{\varepsilon}{2}\)
が成り立つ。
\(|(a_n+b_n)-(a_m+b_m)|\)
\(=|(a_n-a_m)+(b_n-b_m)|\)
\(\leqq|a_n-a_m|+|b_n-b_m|\)
\(\displaystyle <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\)
したがって、
\(\displaystyle |(a_n+b_n)-(a_m+b_m)|<\varepsilon\)
よって、
\(\{a_n+b_n\}\)はコーシー列である。
\(\displaystyle |a_n-a_m|<\frac{\varepsilon}{2},|b_n-b_m|<\frac{\varepsilon}{2}\)
が成り立つ。
\(|(a_n+b_n)-(a_m+b_m)|\)
\(=|(a_n-a_m)+(b_n-b_m)|\)
\(\leqq|a_n-a_m|+|b_n-b_m|\)
\(\displaystyle <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\)
したがって、
\(\displaystyle |(a_n+b_n)-(a_m+b_m)|<\varepsilon\)
よって、
\(\{a_n+b_n\}\)はコーシー列である。
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