【微分積分】4-5-7 収束発散の判定｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「収束発散の判定」について整理します。広義積分において、積分区間が無限に広がる場合や被積分関数が特異点をもつ場合に、どのように収束・発散を判断するかを体系的に解説します。比較判定法・極限比較判定法・無限大／無限小比較などの判定法を例題とともに学び、広義積分の収束判定の考え方をしっかり身につけていきましょう。
収束発散の判定方法
【収束発散の判定】
(1)\(f(x)\)を\(m\)次多項式、\(g(x)\)を\(n\)次多項式とし、\(x\geqq a\)では、\(g(x)\neq0\)とする。このとき、\(n\geqq m+2\)ならば、広義積分\(\displaystyle \int_a^\infty\frac{f(x)}{g(x)}dx\)は収束する。
(2)\(h(x)\)を多項式とし、\(a>0\)とする。このとき、広義積分\(\displaystyle \int_0^\infty h(x)e^{-ax}dx\)は収束する。
【例題】次の広義積分の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx\)
\(\displaystyle =\int_1^2\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx+\int_2^\infty\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx\)
第\(1\)項において、
\(\displaystyle \lim_{x\to1+0}\frac{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}}=\lim_{x\to1+0}\frac{1}{x\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)は\(x\to1+0\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x-1}}\)と同位の無限大である。
\(\displaystyle \int_1^2\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx\)は収束する。
第\(2\)項において、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x\sqrt{x^2-1}}=1\)
\(\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)は\(x\to\infty\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{x^2}\)と同位の無限小である。
\(\displaystyle \int_2^\infty\frac{1}{x^2}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_2^\infty\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx\)は収束する。
第\(1\)項と第\(2\)項は共に収束するので、
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx\)は収束する。
第\(1\)項において、
\(\displaystyle \lim_{x\to1+0}\frac{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}{\frac{1}{\sqrt{x-1}}}=\lim_{x\to1+0}\frac{1}{x\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)は\(x\to1+0\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x-1}}\)と同位の無限大である。
\(\displaystyle \int_1^2\frac{1}{\sqrt{x-1}}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx\)は収束する。
第\(2\)項において、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x\sqrt{x^2-1}}=1\)
\(\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)は\(x\to\infty\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{x^2}\)と同位の無限小である。
\(\displaystyle \int_2^\infty\frac{1}{x^2}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_2^\infty\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx\)は収束する。
第\(1\)項と第\(2\)項は共に収束するので、
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx\)は収束する。
(2)\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x}{x^4+1}dx\)
\(x\geqq0\)のとき
\(\displaystyle \left|\frac{\sin x}{x^4+1}\right|\leqq\frac{1}{x^4+1}\)
ここで
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x^4+1}}{\frac{1}{x^4}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^4}{x^4+1}=1\)
\(\displaystyle \frac{1}{x^4+1}\)は\(x\to\infty\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{x^4}\)と同位の無限小である。
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x^4}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{x^4+1}dx\)は収束する。
比較判定法より、
\(\displaystyle \int_0^\infty\left|\frac{\sin x}{x^4+1}\right|dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x}{x^4+1}dx\)は絶対収束する。
\(\displaystyle \left|\frac{\sin x}{x^4+1}\right|\leqq\frac{1}{x^4+1}\)
ここで
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x^4+1}}{\frac{1}{x^4}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^4}{x^4+1}=1\)
\(\displaystyle \frac{1}{x^4+1}\)は\(x\to\infty\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{x^4}\)と同位の無限小である。
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x^4}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{x^4+1}dx\)は収束する。
比較判定法より、
\(\displaystyle \int_0^\infty\left|\frac{\sin x}{x^4+1}\right|dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x}{x^4+1}dx\)は絶対収束する。
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