1.次の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x-y+1}{x+y-1}\)
\(\displaystyle =1\)
(2)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2x-3y}{x+y}\)
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{2x-3y}{x+y}\)とおく。
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{2t-3・0}{t+0}=\lim_{t\to0}2=2\)
\(y=x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=t\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,t)=\lim_{t\to0}\frac{2t-3t}{t+t}=\lim_{t\to0}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2x-3y}{x+y}\)は存在しない。
(3)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x+y}\)
\(\displaystyle =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}\)
\(\displaystyle =0\)
(4)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{xy}}{x^2+y^2}\)
\(y=x\)として\((x,y)\to(0,0)\)のとき、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{xy}}{x^2+y^2}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to+0}\frac{x}{x^2+x^2}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to+0}\frac{1}{2x}\)
\(\displaystyle =\infty\)
よって、原点への近づくと発散するので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{xy}}{x^2+y^2}\)は存在しない。
(5)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2+y^4}\)
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2+y^4}\)とおく。
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t・0}{t^2+0+0}=\lim_{t\to0}0=0\)
\(y=x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=t\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,t)=\lim_{t\to0}\frac{t^2}{t^2+t^2+t^4}=\lim_{t\to0}\frac{1}{2+t^2}=\frac{1}{2}\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2+y^4}\)は存在しない。
