【微分積分】4-6-2 ベータ関数｜要点まとめ

このページでは、大学数学の微分積分で扱う「ベータ関数」について整理します。ベータ関数の定義や基本的性質、計算方法を例題を通してわかりやすく解説します。ガンマ関数との関係や積分公式の応用も取り上げ、計算手順の理解と応用力をしっかり身につけ、大学数学の積分の理解を深めましょう。

ベータ関数の定義と性質

【ベータ関数】
\(p>0,q>0\)に対して
\(\displaystyle B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx\)
とおき、ベータ関数という。

【ベータ関数の定義】
\(p>0,q>0\)のとき、積分\(\displaystyle \int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx\)は存在する。

【ベータ関数の性質】
(1)任意の\(p>0,q>0\)に対して、\(B(p,q)=B(q,p)\)
(2)任意の\(p>0,q>0\)に対して、\(B(p,q)=B(p+1,q)+B(p,q+1)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{p+q}{p}B(p+1,q)\)
(3)自然数\(m,n\)に対して、\(\displaystyle B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}\)

【ベータ関数とガンマ関数の関係式】
任意の\(p>0,q>0\)に対して
\(\displaystyle B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\)
が成り立つ。

【ベータ関数の三角関数表現】
ベータ関数\(B(p,q)\)について
\(\displaystyle B(p,q)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta d\theta\)
が成り立つ。

【例題】次の値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^5\theta\cos^3\theta d\theta\)
(2)\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4\theta\cos^2\theta d\theta\)
(3)\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^8\theta\cos^6\theta d\theta\)
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