【微分積分】4-6-1 ガンマ関数｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「ガンマ関数」について整理します。ガンマ関数の定義や性質、階乗との関係を例題を通してわかりやすく解説します。積分による定義や漸化式、実数・複素数への拡張の考え方を理解し、微分積分での応用力をしっかり身につけましょう。
ガンマ関数の定義と性質
【ガンマ関数】
\(p>0\)に対して
\(\displaystyle \Gamma(p)=\int_0^\infty x^{p-1}e^{-x}dx\)
とおき、ガンマ関数という。
【ガンマ関数の定義】
\(p>0\)のとき、広義積分\(\displaystyle \int_0^\infty x^{p-1}e^{-x}dx\)は収束する。
【ガンマ関数の性質】
(1)任意の\(p>0\)に対して、\(\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)\)
(2)自然数\(n\)に対して、\(\Gamma(n+1)=n!\)
(3)\(\Gamma(1)=1\)
(4)\(\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
【例題】次の値を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{5}{2}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{5}{2}・\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{5}{2}・\frac{3}{2}・\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{5}{2}・\frac{3}{2}・\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\)
\(\displaystyle =\frac{15}{8}\sqrt{\pi}\)
\(\displaystyle =\frac{5}{2}・\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{5}{2}・\frac{3}{2}・\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{5}{2}・\frac{3}{2}・\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\)
\(\displaystyle =\frac{15}{8}\sqrt{\pi}\)
(2)\(\displaystyle \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{\pi}}{-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle =-2\sqrt{\pi}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{\pi}}{-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle =-2\sqrt{\pi}\)
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