【微分積分】5-3-2 項別微分・項別積分｜要点まとめ
このページでは、関数列や級数に対して「微分」や「積分」を項ごとに行うことが正当化される条件について整理します。項別微分・項別積分が成り立つための収束条件、ワイエルシュトラスのM判定法との関係、そして典型的な例題を通して、解析学で頻出の重要ポイントをわかりやすく解説します。関数列や級数の計算を正確に扱うための基礎理解を深めていきましょう。
項別微分・項別積分の定義と基本概念
【連続関数の一様収束極限関数の連続性】
\(I\)上の連続関数列\(\{f_n\}_{n=1}^{\infty}\)のなす関数項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\)が\(I\)上で一様収束するとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\)も\(I\)上の連続関数である。
【一様収束に関する無限和と定積分の可換性】
有界閉区間\(I=[a,b]\)上の連続関数列\(\{f_n\}_{n=1}^{\infty}\)のなす関数項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\)が\(I\)上で一様収束するとき、
\(\displaystyle \int_a^b\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_a^bf_n(x)dx\)
が成り立つ。
【一様収束に関する無限和と微分の可換性】
\(I\)上の\(C^1\)級関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)のなす関数項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\)が\(I\)上で各点収束し、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f'_n\)が\(I\)上で一様収束するとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_n\)も\(I\)上の\(C^1\)級関数であり
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\right)=\sum_{n=1}^{\infty}f'_n(x)\)
が成り立つ。
【例題】\(-1< a< 1\)かつ\(a\neq0\)として関数\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a^n\sin nx\)とおく。
\(\displaystyle |a^n\sin nx|\leqq |a|^n,\ \sum_{n=1}^{\infty}|a|^n:\)収束
なので、\(f(x)\)を定める関数項級数は\(\mathbb{R}\)上で絶対収束する。
\(|na^n\cos nx|\leqq n|a|^n\ (x\in\mathbb{R})\)
となる。\(M_n=n|a|^n\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{M_{n+1}}{M_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)|a|^{n+1}}{n|a|^n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}|a|\left(1+\frac{1}{n}\right)\)
\(\displaystyle =|a|\)
ダランベールの判定法より、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}M_n\)は収束する。
ワイエルシュトラスのM判定法より、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}na^n\cos nx\)は\(\mathbb{R}\)上で一様収束する。
よって、
\(f(x)\)は項別微分可能で\(\displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na^n\cos nx\)
有界な関数\(\sin mx\)をかけて\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a^n\sin nx\sin mx\)も一様収束する。
よって、
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x)\sin mxdx\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}a^n\int_0^{2\pi}\sin nx\sin mxdx\)
\(=\pi a^m\)