【微分積分】6-1-4 2変数関数の累次極限｜問題集

\(\displaystyle \lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}f(x,y)\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}\frac{x-y}{x+y}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{y\to0}\frac{-y}{y}\)
\(\displaystyle =-1\)

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}f(x,y)\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}\frac{x-y}{x+y}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{y\to0}\frac{x}{x}\)
\(\displaystyle =1\)

\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}\)とおく。
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t-0}{t+0}=\lim_{t\to0}1=1\)
\(y\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=0,y(t)=t\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(0,t)=\lim_{t\to0}\frac{0-t}{0+t}=\lim_{t\to0}-1=-1\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x-y}{x+y}\)は存在しない。

\(\displaystyle \lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}f(x,y)\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}\frac{y^2}{x-3y}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{y\to0}\frac{y^2}{0-3y}\)
\(\displaystyle =0\)

\(\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}f(x,y)\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}\frac{y^2}{x-3y}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{0}{x-0}\)
\(\displaystyle =0\)

\(\displaystyle f(x,y)=\frac{y^2}{x-3y}\)とおく。
\(y\neq0\)のとき
\(\displaystyle |f(x,y)|=\left|\frac{y^2}{x-3y}\right|\leqq|y|\)
\(y=0\)のとき
\(\displaystyle |f(x,0)|=0\leqq|y|\)
よって、はさみうちの定理より、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\)