【微分積分】1-1-3 等比数列の極限｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「等比数列の極限」について要点を整理し、例題で理解を深められるようまとめています。初学者でも基礎から確実に理解できる内容で、演習や入試対策にも役立ちます。
等比数列の極限の定義
【等比数列の極限】
\(a\in\mathbb{R}\)とすると、以下が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^n \left\{\begin{array}{l}\infty\ (a>1) \\ 1\ \ \ (a=1) \\ 0\ \ \ (-1< a< 1)\end{array}\right.\)
が成り立つ。また、\(a\leqq-1\)のとき、極限\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^n\)は存在しない。
【例題】次の数列の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^n-2^n}{3^n+2^n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1-(\frac{2}{3})^n}{1+(\frac{2}{3})^n}\)
\(=1\)
\(=1\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{1+2^n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{(\frac{1}{2})^n+1}\)
\(=\infty\)
\(=\infty\)
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