等比数列の極限
【等比数列の極限】
\(a\in\mathbb{R}\)とすると、以下が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\lim_{n\to\infty}a^n\left\{
\begin{array}{l}
\infty\ (a>1)\\
1\ \ \ (a=1)\\
0\ \ \ (-1< a< 1)\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
が成り立つ。また、\(a\leqq-1\)のとき、極限\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^n\)は存在しない。
【例題】次の数列の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3^n-2^n}{3^n+2^n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1-(\frac{2}{3})^n}{1+(\frac{2}{3})^n}\)
\(\displaystyle =1\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{1+2^n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{(\frac{1}{2})^n+1}\)
\(\displaystyle =\infty\)