【微分積分】3-6-4 極大・極小の判定｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「極大・極小の判定」について、2階導関数および高階導関数を用いた方法を中心に整理します。例題を通して、関数の極値の求め方を体系的に理解できます。
2階導関数の極大・極小判定
【2階導関数の極大・極小判定】
関数\(f(x)\)は点\(a\)の近傍上で\(C^2\)級で、\(f'(a)=0\)を満たすとき、
(1)\(f''(a)>0\)ならば、\(f(x)\)は\(x=a\)で極小。
(2)\(f''(a)<0\)ならば、\(f(x)\)は\(x=a\)で極大。
【例題】次の関数の極値を求めなさい。
\(\displaystyle f(x)=\frac{4x^2+2x+4}{x^2+1}\)
\(f'(x)\)
\(\displaystyle =\frac{(8x+2)(x^2+1)-(4x^2+2x+4)・2x}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは\(x=\pm1\)のときである。
\(f''(x)\)
\(\displaystyle =\frac{-4x(x^2+1)^2-(-2x^2+2)・2(x^2+1)・2x}{(x^2+1)^4}\)
\(\displaystyle =\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\)
\(f''(1)=-1\)
\(f''(-1)=1\)
よって、
\(x=1\)のとき、極大値\(f(1)=5\)
\(x=-1\)のとき、極小値\(f(-1)=3\)
\(\displaystyle =\frac{(8x+2)(x^2+1)-(4x^2+2x+4)・2x}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{-2(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは\(x=\pm1\)のときである。
\(f''(x)\)
\(\displaystyle =\frac{-4x(x^2+1)^2-(-2x^2+2)・2(x^2+1)・2x}{(x^2+1)^4}\)
\(\displaystyle =\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\)
\(f''(1)=-1\)
\(f''(-1)=1\)
よって、
\(x=1\)のとき、極大値\(f(1)=5\)
\(x=-1\)のとき、極小値\(f(-1)=3\)
高階導関数の極大・極小判定
【高階導関数の極大・極小判定】
関数\(f(x)\)は点\(a\)の近傍上で\(C^n\)級で、
・\(f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0\)
・\(f^{(n)}(a)\neq0\)
を満たすとき、
(1)\(n\)が偶数で\(F^{(n)}(a)>0\)ならば、\(f(x)\)は\(x=a\)で極小。
(2)\(n\)が偶数で\(F^{(n)}(a)<0\)ならば、\(f(x)\)は\(x=a\)で極大。
(3)\(n\)が奇数ならば、\(f(x)\)は\(x=a\)で極値を取らない。
【例題】次の関数が\(x=0\)で極値を取るか調べなさい。
\(f(x)=x^2\log(1+x)-x^3\)
\(f(x)\)を\(x=0\)で漸近展開すると、
\(\displaystyle =x^2\left(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)-x^3\)
\(\displaystyle =-\frac{x^4}{2}+o(x^4)\)
よって、
\(x=0\)で極大となる。
\(\displaystyle =x^2\left(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)-x^3\)
\(\displaystyle =-\frac{x^4}{2}+o(x^4)\)
よって、
\(x=0\)で極大となる。
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