【微分積分】3-6-5 テイラー展開｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「テイラー展開」について、整級数・マクローリン展開・関数の増大速度・ニュートン法などを体系的に整理しています。定義から応用までを例題つきでわかりやすく解説します。
整級数
【整級数】
実数列\(\{a_n\}_n=0^\infty\)に対して、変数\(x\)を含んだ級数
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)
\(\ \ \ \ \ =a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots\)
を\(x=0\)を中心とする整級数という。
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n\)
\(\ \ \ \ \ =a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2\)
\(\ \ \ \ \ \ \ +\cdots+a_n(x-c)^n+\cdots\)
を\(x=c\)を中心とする整級数という。
テイラー展開の基本
【テイラー展開】
関数\(f(x)\)は開空間\(I\)上で\(C^\infty\)級であるとする。\(a\in I\)に関するテイラーの定理における剰余項\(R_n(x)\)について、各\(x\in I\)に対して\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0\)が成り立つとき、
\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)
\(\displaystyle =f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ +\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots\)
を\(f(x)\)の\(x=a\)におけるテイラー展開という。
マクローリン展開の具体例
【マクローリン展開】
関数\(f(x)\)は開空間\(I\)上で\(C^\infty\)級であるとする。\(0\in I\)に関するテイラーの定理における剰余項\(R_n(x)\)について、各\(x\in I\)に対して\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0\)が成り立つとき、
\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)
\(\displaystyle =f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ +\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots\)
を\(f(x)\)のマクローリン展開という。
【例題】次の関数をマクローリン展開を求めなさい。
\(\displaystyle =1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\)
\(\displaystyle =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\)
\(\displaystyle =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+\cdots\)
関数の増大速度と近似精度
【増大速度の比較】
\(\alpha>0\)とする。\(x\to\infty\)における関数の増大速度について
\(\log x\ll x^\alpha\ll e^x\)
が成り立つ。
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^\alpha}{e^x}=0,\ \ \ \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x^\alpha}=0\)
となる。
【対数関数の収束・発散速度の比較】
\(\alpha>0\)とするとき
\(\displaystyle \lim_{x\to+0}x^\alpha\log x=0\)
が成り立つ。
ニュートン法による応用
【ニュートン法】
関数\(f(x)\)は区間\([a,b]\)上で\(2\)回微分可能で、\(f(a)=0,f'(a)\geqq0\)かつ開区間\((a,b)\)上で\(f''(x)>0\)とする。このとき、数列\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)を
・\(x_1=b\)
・\(\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\ (n=1,2,3,\cdots)\)
で定めると、\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)は狭義単調減少で\(a\)に収束する。