【微分積分】4-2-4 基本的な積分公式｜要点まとめ

このページでは、大学数学の微分積分で扱う「基本的な積分公式」について体系的に整理します。べき乗、指数関数、三角関数、逆三角関数、部分分数分解など、積分計算に欠かせない公式を例題とともに解説し、公式の使い分けや計算力の向上を目指します。

べき乗の積分

【べき乗の積分】
\(\displaystyle \int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ \ \ (\alpha\neq-1)\)
\(\displaystyle \int\frac{1}{x}dx=\log|x|+C\)

【例題】次の不定積分・定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int(2x-3)dx\)
(2)\(\displaystyle \int5x^4dx\)
(3)\(\displaystyle \int\sqrt[3]{x^2}dx\)
(4)\(\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)
(5)\(\displaystyle \int_0^1(2x-3)dx\)
(6)\(\displaystyle \int_0^1(x^2+3)dx\)
(7)\(\displaystyle \int_1^2\frac{x^2-1}{x}dx\)
(8)\(\displaystyle \int_0^1\sqrt{x^3}dx\)

指数関数の積分

【指数関数の積分】
\(\displaystyle \int e^xdx=e^x+C\)
\(\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\log a}+C\ \ \ (a>0,a\neq1)\)

【例題】次の不定積分・定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int e^{2x}dx\)
(2)\(\displaystyle \int_0^1x・3^xdx\)

三角関数の積分

【三角関数の積分】
\(\displaystyle \int\sin xdx=-\cos x+C\)
\(\displaystyle \int\cos xdx=\sin x+C\)
\(\displaystyle \int\frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C\)
\(\displaystyle \int\tan xdx=-\log|\cos x|+C\)

【例題】次の不定積分・定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int(3\sin x+x^2)dx\)
(2)\(\displaystyle \int\frac{\sin x}{\cos x}dx\)
(3)\(\displaystyle \int\sin^2xdx\)
(4)\(\displaystyle \int_0^\pi\cos xdx\)
(5)\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx\)

逆正接関数の積分

【逆正接関数の積分】
\(\displaystyle \int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}+C\ \ \ (a\neq0)\)

【例題】次の不定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int\frac{1}{x^2+4}dx\)

部分分数の積分

【部分分数の積分】
\(\displaystyle \int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\log\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\ \ \ (a\neq0)\)

【例題】次の不定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int\frac{1}{x^2-4}dx\)

逆正弦関数の積分

【逆正弦関数の積分】
\(\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}\frac{x}{a}+C\ \ \ (a\neq0)\)

【例題】次の不定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx\)

平方根を含む対数型積分

【平方根を含む対数型積分】
\(\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2+a}}dx=\log|x+\sqrt{x^2+a}|+C\)

【例題】次の不定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx\)

双曲線関数の積分

【双曲線関数の積分】
\(\displaystyle \int\sinh xdx=\cosh x+C\)
\(\displaystyle \int\cosh xdx=\sinh x+C\)
\(\displaystyle \int\frac{1}{\cosh^2x}dx=\tanh x+C\)

【例題】次の不定積分を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \int3\sinh xdx\)
(2)\(\displaystyle \int2\cosh2xdx\)
(3)\(\displaystyle \int\frac{5}{\cosh^23x}dx\)

対数の微分に基づく積分

【対数の微分に基づく積分】
\(f(x)\)は\(C^1\)級関数で\(f(x)\neq0\)とするとき、区間\(I\)上で次の等式が成り立つ。
\(\displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|+C\)

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