1.\(u(x,y)=x^2-y^2,\ v(x,y)=2xy\)とし、\(\varPhi(x,y)=(u(x,y),\ v(x,y))\)とする。
(1)\(\varPhi(-1,1)\)と\(\varPhi(0,-2)\)を求めなさい。
\(\varPhi(-1,1)=(0,-2)\)
\(\varPhi(0,-2)=(-4,0)\)
(2)半直線\(y=\sqrt{3}x,\ x\geqq0\)の\(\varPhi\)による像を求めなさい。
\(y=\sqrt{3}t,\ x=t,\ t\geqq0\)より
\(u=u(t,\sqrt{3}t)=-2t^2\)
\(v=v(t,\sqrt{3}t)=2\sqrt{3}t^2\)
よって、
\(v=-\sqrt{3}u,\ u\leqq0\)
(3)原点を中心とする円の\(\varPhi\)による像を求めなさい。
\(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ r>0,\ 0\leqq\theta<2\pi\)より
\(u=u(r\cos\theta,r\sin\theta)=r^2\cos2\theta\)
\(v=v(r\cos\theta,r\sin\theta)=r^2\sin2\theta\)
よって、
\(u^2+v^2=r^4\)
2.\(\displaystyle u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2},\ v(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}\)とし、\(\varPhi(x,y)=(u(x,y),\ v(x,y))\)とする。
(1)\(\varPhi(1,0)\)と\(\varPhi(1,1)\)を求めなさい。
\(\varPhi(1,0)=(1,0)\)
\(\displaystyle \varPhi(1,1)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)\)
(2)線分\(\displaystyle y=x,\ 0< x\leqq\frac{1}{\sqrt{2}}\)の\(\varPhi\)による像を求めなさい。
\(\displaystyle x=t,\ y=t,\ 0< t\leqq\frac{1}{\sqrt{2}}\)より
\(\displaystyle u=u(t,t)=\frac{1}{2t}\)
\(\displaystyle v=v(t,t)=-\frac{1}{2t}\)
よって、
半直線\(\displaystyle u=-v,\ \frac{1}{\sqrt{2}}\leqq u< \infty\)
(3)半直線\(\displaystyle y=-\sqrt{3}x,\ -\infty< x\leqq -\frac{1}{2}\)の\(\varPhi\)による像を求めなさい。
\(\displaystyle x=t,\ y=-\sqrt{3}t,\ -\infty< t\leqq -\frac{1}{2}\)より
\(\displaystyle u=u(t,-\sqrt{3}t)=\frac{1}{4t}\)
\(\displaystyle v=v(t,-\sqrt{3}t)=\frac{\sqrt{3}}{4t}\)
よって、
\(\displaystyle v=\sqrt{3}u,\ -\infty< u\leqq -\frac{1}{2}\)
(4)半円\(x^2+y^2=1,\ y\geqq0\)の\(\varPhi\)による像を求めなさい。
\(x=\cos\theta,\ y=\sin\theta,\ 0\leqq \theta\leqq \pi\)より
\(u=u(\cos\theta,\sin\theta)=\cos\theta\)
\(v=v(\cos\theta,\sin\theta)=-\sin\theta\)
よって、
半円\(u^2+v^2=1,\ v\leqq0\)
(5)\(x^2+y^2=4\)の\(\varPhi\)による像を求めなさい。
\(x=2\cos\theta,\ y=2\sin\theta,\ 0\leqq \theta< 2\pi\)より
\(\displaystyle u=u(2\cos\theta,2\sin\theta)=\frac{\cos\theta}{2}\)
\(\displaystyle v=v(2\cos\theta,2\sin\theta)=-\frac{\sin\theta}{2}\)
よって、
円\(\displaystyle u^2+v^2=\frac{1}{4}\)
3.次の関数の定義域と値域を求めなさい。
(1)\(f(x,y)=\sqrt{xy}\)
定義域\(D(f)\)は
\(D(f)=\{(x,y):f(x,y)\in\mathbb{R}\}\)
\(=\{(x,y):\sqrt{xy}\in\mathbb{R}\}\)
\(=\{(x,y):xy\geqq0\}\)
値域\(R(f)\)は
\(R(f)=\{f(x,y):(x,y)\in D(f)\}\)
\(=[0,\infty)\)
(2)\(\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{x+y}\)
定義域\(D(f)\)は
\(D(f)=\{(x,y):f(x,y)\in\mathbb{R}\}\)
\(\displaystyle =\{(x,y):\frac{1}{x+y}\in\mathbb{R}\}\)
\(=\{(x,y):x+y\neq0\}\)
値域\(R(f)\)は
\(R(f)=\{f(x,y):(x,y)\in D(f)\}\)
\(\displaystyle =\left\{\frac{1}{x+y}:x+y\neq0\right\}\)
\(=(-\infty,0)\cup(0,\infty)\)
(3)\(\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}\)
定義域\(D(f)\)は
\(D(f)=\{(x,y):f(x,y)\in\mathbb{R}\}\)
\(\displaystyle =\{(x,y):\frac{1}{x^2+y^2}\in\mathbb{R}\}\)
\(=\{(x,y):x^2+y^2\neq0\}\)
値域\(R(f)\)は
\(R(f)=\{f(x,y):(x,y)\in D(f)\}\)
\(\displaystyle =\left\{\frac{1}{x^2+y^2}:x^2+y^2\neq0\right\}\)
\(=(0,\infty)\)
(4)\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}\)
定義域\(D(f)\)は
\(D(f)=\{(x,y):f(x,y)\in\mathbb{R}\}\)
\(\displaystyle =\{(x,y):\frac{x^2}{x^2+y^2}\in\mathbb{R}\}\)
\(=\{(x,y):x^2+y^2\neq0\}\)
値域\(R(f)\)は
\(R(f)=\{f(x,y):(x,y)\in D(f)\}\)
\(\displaystyle =\left\{\frac{x^2}{x^2+y^2}:x^2+y^2\neq0\right\}\)
\(=[0,1]\)
(5)\(\displaystyle f(x,y)=\log(1-xy)\)
定義域\(D(f)\)は
\(D(f)=\{(x,y):f(x,y)\in\mathbb{R}\}\)
\(=\{(x,y):\log(1-xy)\in\mathbb{R}\}\)
\(=\{(x,y):1-xy>0\}\)
値域\(R(f)\)は
\(R(f)=\{f(x,y):(x,y)\in D(f)\}\)
\(=\{\log(1-xy):1-xy>0\}\)
\(=(-\infty,\infty)\)
(6)\(\displaystyle f(x,y,z)=\frac{z}{x^2-y^2}\)
定義域\(D(f)\)は
\(D(f)=\{(x,y,z):f(x,y,z)\in\mathbb{R}\}\)
\(\displaystyle =\{(x,y,z):\frac{z}{x^2-y^2}\in\mathbb{R}\}\)
\(=\{(x,y,z):x^2-y^2\neq0\}\)
値域\(R(f)\)は
\(R(f)=\{f(x,y,z):(x,y,z)\in D(f)\}\)
\(\displaystyle =\left\{\frac{z}{x^2-y^2}:x^2-y^2\neq0\right\}\)
\(=(-\infty,\infty)\)
