【微分積分】2-2-3 有界閉区間の連続関数｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「有界閉区間の連続関数」について、要点と例題を通してわかりやすくまとめています。中間値の定理や最大値・最小値の定理など、連続関数がもつ重要な性質を丁寧に整理しています。
中間値の定理とその考え方
【中間値の定理】
関数\(f(x)\)は閉空間\([a,b]\)上で連続で\(f(a)\neq f(b)\)とする。このとき、\(f(a)\)と\(f(b)\)の間にある任意の実数\(\mu\)に対して
\(a< \xi< b,\mu=f(\xi)\)
となる点\(\xi\)が存在する。
【例題】次の方程式が与えられた区間\(I\)に解を持つことを示しなさい。
(1)\(2^x-3x-5=0,I=[4,5]\)
\(f(x)=2^x-3x-5\)とおくと、区間\([4,5]\)上で連続である。
\(f(4)=16-12-5=-1<0\)
\(f(5)=32-15-5=12>0\)
中間値の定理より、
\(4<\xi<5,f(\xi)=0\)
となる\(\xi\)が存在する。
\(f(4)=16-12-5=-1<0\)
\(f(5)=32-15-5=12>0\)
中間値の定理より、
\(4<\xi<5,f(\xi)=0\)
となる\(\xi\)が存在する。
(2)\(\displaystyle \sin x=x\cos x,I=\left(\pi,\frac{3}{2}\pi\right)\)
\(f(x)=\sin x-x\cos x\)とおくと、区間\(\displaystyle \left(\pi,\frac{3}{2}\pi\right)\)上で連続である。
\(f(\pi)=0-\pi・(-1)=\pi>0\)
\(\displaystyle f\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-1-\frac{3}{2}\pi・0=-1<0\)
中間値の定理より、
\(\displaystyle \pi<\xi<\frac{3}{2}\pi,f(\xi)=0\)
となる\(\xi\)が存在する。
\(f(\pi)=0-\pi・(-1)=\pi>0\)
\(\displaystyle f\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-1-\frac{3}{2}\pi・0=-1<0\)
中間値の定理より、
\(\displaystyle \pi<\xi<\frac{3}{2}\pi,f(\xi)=0\)
となる\(\xi\)が存在する。
最大値・最小値の定理の内容と応用
【最大値・最小値の定理】
関数\(f(x)\)が閉空間\([a,b]\)上で連続であるとき、\(f(x)\)の\([a,b]\)における最大値と最小値が存在する。
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