【微分積分】4-3-2 区分求積法｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「区分求積法」について整理します。積分の定義へとつながる近似和の考え方を例題を通して理解し、リーマン積分の基礎となる計算の流れを明確にします。積分を単なる公式として覚えるのではなく、なぜその値が得られるのかという数学的背景も含めて学びましょう。
区分求積法とは？
【例題】次の極限値を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}\)
\(\displaystyle =\int_0^1\sin\pi xdx\)
\(\displaystyle =\left[-\frac{\cos\pi x}{\pi}\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{2}{\pi}\)
\(\displaystyle =\left[-\frac{\cos\pi x}{\pi}\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{2}{\pi}\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+2n}\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\)
\(\displaystyle =\int_0^2\frac{1}{1+x}dx\)
\(\displaystyle =[\log|1+x|]_0^2\)
\(\displaystyle =\log3\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\)
\(\displaystyle =\int_0^2\frac{1}{1+x}dx\)
\(\displaystyle =[\log|1+x|]_0^2\)
\(\displaystyle =\log3\)
(3)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)}\)
対数をとると、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\)
\(\displaystyle =\int_0^1\log(1+x)dx\)
\(\displaystyle =[(1+x)\log(1+x)-x]_0^1\)
\(\displaystyle =2\log2-1\)
\(\displaystyle =\log\frac{4}{e}\)
よって、求める極限値は
\(\displaystyle \frac{4}{e}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\)
\(\displaystyle =\int_0^1\log(1+x)dx\)
\(\displaystyle =[(1+x)\log(1+x)-x]_0^1\)
\(\displaystyle =2\log2-1\)
\(\displaystyle =\log\frac{4}{e}\)
よって、求める極限値は
\(\displaystyle \frac{4}{e}\)
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