【微分積分】5-1-1 正項級数の収束発散｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「正項級数の収束発散」について整理します。特に、比較判定法・積分判定法・ダランベールやラーベの判定法など、正項級数の収束を見極めるための代表的な判定手法を中心に、その使いどころや計算の流れを例題とともにわかりやすく解説します。複数の判定法を体系的に理解し、収束判定を適切に選択できる力を身につけていきましょう。
比較判定法
【正項級数】
級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)が全ての自然数\(n\)に対して\(a_n\geqq0\)であるとき、正項級数であるという。
【正項級数の収束条件】
正項級数は収束するか正の無限大に発散するかのどちらかである。収束するための必要十分条件は、部分和が有界になることである。
【正項級数の直接比較判定法】
正項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)と\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)において、\(a_n\leqq b_n\ (n=1,2,3,\cdots)\)のとき
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)が収束するとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)も収束する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)が発散するとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)も発散する。
【同位の無限小】
数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)と\(\{b_n\}_{n=1}^\infty\)が\(0\)でない実数\(c\)に対して
・\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0\)
・\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c\)
が成り立つとき、\(a_n\)と\(b_n\)は同位の無限小という。
【正項級数の極限比較判定法】
正項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)と\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)において、\(a_n\)と\(b_n\)が同位の無限小のとき
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)が収束するとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)も収束する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)が発散するとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)も発散する。
【例題】次の級数の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\)
一般項において
\(\displaystyle 0< \frac{1}{n^2+1}< \frac{1}{n^2}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)は収束するので、比較判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\)は収束する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n^2+1}-n)\)
一般項において\(\displaystyle \frac{1}{n}\)と比較すると、
\(\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+1}-n}{\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)は発散するので、比較判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n^2+1}-n\)は発散する。
(3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+1}{3n^4+1}\)
一般項において
\(\displaystyle 0< \frac{2n^2+1}{3n^4+1}< \frac{2n^2+1}{3n^4}=\frac{2}{3n^2}+\frac{1}{3n^4}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3n^2}\)と\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n^4}\)は共に収束するので、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3n^2}+\frac{1}{3n^4}\right)\)は収束する。
比較判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+1}{3n^4+1}\)は収束する。
積分判定法
【一般調和級数】
\(\alpha>0\)に対して、級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}\)を一般調和級数という。
【正項級数の積分判定法】
関数\(f(x)\)は区間\([1,\infty)\)上で連続で、\(f(x)>0\)かつ単調減少とするとき
(1)広義積分\(\int_1^\infty f(x)dx\)が収束するとき、正項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f(n)\)も収束する。
(2)広義積分\(\int_1^\infty f(x)dx\)が発散するとき、正項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f(n)\)も発散する。
【例題】次の級数の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x\log x}\)とおくと
\(\displaystyle \int_2^{\infty}f(x)dx\)
\(\displaystyle =\int_2^{\infty}\frac{1}{x\log x}dx\)
\(\displaystyle =\int_{\log2}^{\infty}\frac{1}{t}dt\)
\(=\infty\)
積分判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n}\)は発散する。
コーシー・アダマールの判定法
【コーシー・アダマールの判定法】
正項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)において、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=r\)のとき、次が成り立つ。
(1)\(0\leqq r< 1\)のとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は収束する。
(2)\(1< r\leqq \infty\)のとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は発散する。
【例題】次の級数の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+5}{3n+1}\right)^n\)
\(\displaystyle a_n=\left(\frac{2n+5}{3n+1}\right)^n\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+5}{3n+1}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{5}{n}}{3+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\)
コーシー・アダマールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+5}{3n+1}\right)^n\)は収束する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^2}\)
\(\displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^2}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}^{-1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{e}\)
コーシー・アダマールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^2}\)は収束する。
ダランベールの判定法
【ダランベールの判定法】
正項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)において、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r\)のとき、次が成り立つ。
(1)\(0\leqq r< 1\)のとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は収束する。
(2)\(1< r\leqq \infty\)のとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は発散する。
【例題】次の級数の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\)
\(\displaystyle =0\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)は収束する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{n^n}{n!}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}・\frac{n!}{n^n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\)
\(\displaystyle =e\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}\)は発散する。
ラーベの判定法
【ラーベの判定法】
正項級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)において、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right)=r\)のとき、次が成り立つ。
(1)\(-\infty\leqq r< -1\)のとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は収束する。
(2)\(-1< r\)のとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は発散する。
【例題】次の級数の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{n^2}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{n^2}{n^2+2n+1}-1\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{-2n^2-n}{n^2+2n+1}\)
\(\displaystyle =-2\)
ラーベの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)は収束する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{4n^2+4n+1}{4n^2+10n+6}-1\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{-6n^2-5n}{4n^2+10n+6}\)
\(\displaystyle =-\frac{3}{2}\)
ラーベの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}\)は収束する。
(3)\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{2n+2}{2n+1}-1\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
ラーベの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^n(n!)^2}{(2n)!}\)は発散する。
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