【微分積分】1-1-4 はさみうちの原理｜問題集

\(\displaystyle -1\leqq\sin\frac{n\pi}{6}\leqq1\)より、
\(\displaystyle -\frac{1}{n}\leqq\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{6}\leqq\frac{1}{n}\)
はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{6}\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\) \(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{6}\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{6}=0\)

\(-1\leqq(-1)^n\leqq1\)より、
\(\displaystyle -\frac{1}{n+1}\leqq\frac{(-1)^n}{n+1}\leqq\frac{1}{n+1}\)
はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n+1}\right)\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\) \(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}=0\)

\(2^n\leqq2^n+1\leqq2・2^n\)より、
\(2\leqq(2^n+1)^{\frac{1}{n}}\leqq2・2^{\frac{1}{n}}\)
はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}2\leqq\lim_{n\to\infty}(2^n+1)^{\frac{1}{n}}\leqq\lim_{n\to\infty}2・2^{\frac{1}{n}}\) \(\displaystyle 2\leqq\lim_{n\to\infty}2・2^{\frac{1}{n}}\leqq2\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}2・2^{\frac{1}{n}}=2\)

\(3^n\leqq2^n+3^n\leqq2・3^n\)より、
\(3\leqq(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}\leqq3・2^{\frac{1}{n}}\)
はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}3\leqq\lim_{n\to\infty}(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}\leqq\lim_{n\to\infty}3・2^{\frac{1}{n}}\) \(\displaystyle 3\leqq\lim_{n\to\infty}(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}\leqq3\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(2^n+3^n)^{\frac{1}{n}}=3\)

\(\displaystyle 0\leqq\frac{1}{n}・\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n}\leqq\frac{1}{n}\)より、
\(\displaystyle 0\leqq\frac{n!}{n^n}\leqq\frac{1}{n}\)
はさみうちの原理より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle 0\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}\leqq0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0\)