【微分積分】4-2-1 不定積分と原始関数｜要点まとめ

不定積分の定義と基本事項

【原始関数】
区間\(I\)上の関数\(f(x)\)に対して
\(\displaystyle \frac{d}{dx}F(x)=f(x)\ \ \ (x\in I)\)
を満たす関数\(F(x)\)が存在するとき、\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数という。

【不定積分】
関数\(f(x)\)が区間\(I\)に含まれる任意の有界閉区間上で積分可能とする。このとき、\(a\in I\)と定数\(C\)に対して
\(\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)dt+C\ \ \ (x\in I)\)
を定める。この\(F(x)\)を記号
\(\displaystyle \int f(x)dx\)
で表し、区間\(I\)における\(f(x)\)を不定積分という。

【不定積分と原始関数の関係】
関数\(f(x)\)は区間\(I\)上で連続のとき、\(I\)上の関数\(F(x)\)に対して
\(F(x)\)は\(f(x)\)の不定積分\(\Longleftrightarrow\)\(F(x)\)は\(f(x)\)の原始関数
が成り立つ。

【微分積分の基本定理】
関数\(f(x)\)は区間\(I\)上で連続のとき、\(a\in I\)ならば
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)\ \ \ (x\in I)\)
が成り立つ。

【不定積分の線形性】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)は共に区間\(I\)において不定積分を持ち、\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)のとき、
\(\displaystyle \int \{\lambda f(x)+\mu g(x)\}dx\)
\(\displaystyle \ \ \ =\lambda\int f(x)dx+\mu\int g(x)dx\)
が成り立つ。

【不定積分の連続性】
関数\(f(x)\)が区間\(I\)において不定積分を持つとき、その不定積分は\(I\)上の連続関数である。