1.次の関数の全微分を求めなさい。
(1)\(f(x,y)=x^3+y^2\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=3x^2\)
\(f_y(x,y)=2y\)
よって、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=3x^2dx+2ydy\)
(2)\(f(x,y)=3x^2-xy+y\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=6x-y\)
\(f_y(x,y)=-x+1\)
よって、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=(6x-y)dx-(x-1)dy\)
(3)\(f(x,y)=x^2y^{-2}\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=2xy^{-2}\)
\(f_y(x,y)=-2x^2y^{-3}\)
よって、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=2xy^{-2}dx-2x^2y^{-3}dy\)
(4)\(f(x,y)=x^2y\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=2xy\)
\(f_y(x,y)=x^2\)
よって、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=2xydx+x^2dy\)
(5)\(f(x,y)=e^x\cos y\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=e^x\cos y\)
\(f_y(x,y)=-e^x\sin y\)
よって、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=e^x\cos ydx-e^x\sin ydy\)
(6)\(f(x,y)=x^3y^4\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=3x^2y^4\)
\(f_y(x,y)=4x^3y^3\)
よって、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=3x^2y^4dx+4x^3y^3dy\)
(7)\(f(x,y)=x^3y+x^2y^4\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=3x^2y+2xy^4\)
\(f_y(x,y)=x^3+4x^2y^3\)
よって、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=(3x^2y+2xy^4)dx+(x^3+4x^2y^3)dy\)
(8)\(f(x,y)=x^2ye^{2x}\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=2xye^{2x}+2x^2ye^{2x}\)
\(f_y(x,y)=x^2e^{2x}\)
よって、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=2xye^{2x}(1+x)dx+x^2e^{2x}dy\)
(9)\(f(x,y)=\cos(xy)\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=-y\sin{xy}\)
\(f_y(x,y)=-x\sin{xy}\)
よって、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=-y\sin{xy}dx-x\sin{xy}dy\)
2.次の曲面の与えられた点\(A\)における接平面の方程式を求めなさい。
(1)\(f(x,y)=x^3y^4\)
\(A(1,1,f(1,1))\)
偏導関数を計算すると
\(\displaystyle f_x(x,y)=3x^2y^4\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=4x^3y^3\)
よって、求める接平面の方程式\(z\)は
\(z=f(1,1)+f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)\)
\(=1+3(x-1)+4(y-1)\)
\(=3x+4y-6\)
(2)\(f(x,y)=x^3y+x^2y^4\)
\(A(1,1,f(1,1))\)
偏導関数を計算すると
\(\displaystyle f_x(x,y)=3x^2y+2xy^4\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=x^3+4x^2y^3\)
よって、求める接平面の方程式\(z\)は
\(z=f(1,1)+f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)\)
\(=2+5(x-1)+5(y-1)\)
\(=5x+5y-8\)
(3)\(f(x,y)=x^2ye^{2x}\)
\(A(1,1,f(1,1))\)
偏導関数を計算すると
\(\displaystyle f_x(x,y)=2xye^{2x}+2x^2ye^{2x}\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=x^2e^{2x}\)
よって、求める接平面の方程式\(z\)は
\(z=f(1,1)+f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)\)
\(=e^2+4e^2(x-1)+e^2(y-1)\)
\(=4e^2x+e^2y-4e^2\)
(4)\(f(x,y)=\cos(xy)\)
\(A(1,1,f(1,1))\)
偏導関数を計算すると
\(\displaystyle f_x(x,y)=-y\sin(xy)\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=-x\sin(xy)\)
よって、求める接平面の方程式\(z\)は
\(z=f(1,1)+f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)\)
\(=\cos1-\sin1(x-1)-\sin1(y-1)\)
\(=-\sin1x-\sin1y+\cos1+2\sin1\)
3.平面\(z=5x+6y+a\)が曲面\(z=x^2+xy+3y\)に接するような\(a\)の値と接点の座標を求めなさい。
接点の座標を\((s,t,s^2+st+3t)\)とおく。
偏導関数を計算すると
\(\displaystyle f_x(x,y)=2x+y\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=x+3\)
求める接平面の方程式\(z\)は
\(z=f(s,t)+f_x(s,t)(x-s)+f_y(s,t)(y-t)\)
\(=(s^2+st+3t)+(2s+t)(x-s)+(s+3)(y-t)\)
\(=(2s+t)x+(s+3)y-s^2-st\)
恒等式より
\(\left\{\begin{array}{l}2s+t=5 \\ s+3=6 \\ -s^2-st=a\end{array}\right.\)
これを解くと
\(s=3,t=-1,a=-6\)
よって、
\(a=-6\)
接点の座標\((3,-1,3)\)
4.次の値の近似値を求めなさい。
(1)\(\sqrt{125}\sqrt[4]{17}\)
\(f(x,y)=\sqrt{x}\sqrt[4]{y}\)とおく。
全微分\(df\)を計算すると
\(\displaystyle f_x(x,y)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=\frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{3}{4}}\)
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}dx+\frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{3}{4}}dy\)
求める値は
\(f(125,17)\)
\(=f(121+4,16+1)\)
\(\fallingdotseq f(121,16)+df(121,16)\)
\(\displaystyle \fallingdotseq 22+\frac{4}{11}+\frac{11}{32}\)
\(\fallingdotseq 22.7\)
(2)\(\displaystyle \sin\left(\frac{6\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
\(f(x,y)=\sin{x}\cos{y}\)とおく。
全微分\(df\)を計算すると
\(\displaystyle f_x(x,y)=\cos{x}\cos{y}\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=-\sin{x}\sin{y}\)
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(\displaystyle =\cos{x}\cos{y}dx-\sin{x}\sin{y}dy\)
求める値は
\(\displaystyle f(\frac{6\pi}{7},\frac{\pi}{3})\)
\(\displaystyle =f(\pi-\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3})\)
\(\displaystyle \fallingdotseq f(\pi,\frac{\pi}{3})+df(\pi,\frac{\pi}{3})\)
\(\displaystyle \fallingdotseq 0+\cos{\pi}\cos{\frac{\pi}{3}}dx-\sin{\pi}\sin{\frac{\pi}{3}}dy\)
\(\displaystyle \fallingdotseq \frac{\pi}{14}\)
5.\(∠C=90°\)の直角三角形\(ABC\)がある。\(2\)辺\(AC\)と\(BC\)の長さを手作業で測ったところ、それぞれ\(3\)mと\(4\)mであったので、\(AB=5\)mと判断したが、実際に精密な計測を行ったところ、それぞれの辺の長さは\(3.02\)mと\(4.01\)mであった。このとき、\(AB\)の実際の長さと\(5\)mとの誤差を調べなさい。
\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)とおく。
全微分\(df\)を計算すると
\(\displaystyle f_x(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle f_y(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}dx+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}dy\)
求める誤差は
\(f(3.02,4.01)\)
\(=f(3+0.02,4+0.01)\)
\(\displaystyle \fallingdotseq f(3,4)+df(3,4)\)
\(\displaystyle \fallingdotseq 5+\frac{3}{5}・0.02+\frac{4}{5}・0.01\)
\(\displaystyle \fallingdotseq 5+\frac{0.06+0.04}{5}\)
\(\fallingdotseq 5.02\)
よって、\(0.02\)m
