【微分積分】7-2-1 全微分可能の定義｜要点まとめ
このページでは、多変数関数の微分概念として重要な「全微分可能の定義」について整理します。偏微分との違いや関係を確認しながら、全微分可能であることの意味と、その幾何学的解釈として現れる接平面の考え方を解説します。多変数微分を正しく理解するための理論的な基礎を押さえていきましょう。
全微分可能性の定義と意味
【全微分可能】
点\((a,b)\)の近傍上で定義された関数\(f(x,y)\)に対して
となる実数\(\alpha\)と\(\beta\)が存在するとき、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で全微分可能であるという。
【全微分可能な関数の連続性】
関数\(f(x,y)\)が点\((a,b)\)で全微分可能ならば、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で連続である。
【全微分可能な関数の性質】
関数\(f(x,y)\)が点\((a,b)\)で全微分可能ならば、点\((a,b)\)で偏微分可能である。さらに全微分可能における\(\alpha\)と\(\beta\)について
\(\alpha=f_x(a,b)\)
\(\beta=f_y(a,b)\)
が成り立つ。
【全微分】
関数\(f(x,y)\)が領域\(D\)の全ての点で全微分可能のとき、\(f(x,y)\)は\(D\)上で全微分可能であるといい、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
を\(f(x,y)\)ので全微分という。
点\((a,b)\)の近傍上で定義された関数\(f(x,y)\)に対して
となる実数\(\alpha\)と\(\beta\)が存在するとき、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で全微分可能であるという。
【全微分可能な関数の連続性】
関数\(f(x,y)\)が点\((a,b)\)で全微分可能ならば、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で連続である。
【全微分可能な関数の性質】
関数\(f(x,y)\)が点\((a,b)\)で全微分可能ならば、点\((a,b)\)で偏微分可能である。さらに全微分可能における\(\alpha\)と\(\beta\)について
\(\alpha=f_x(a,b)\)
\(\beta=f_y(a,b)\)
が成り立つ。
【全微分】
関数\(f(x,y)\)が領域\(D\)の全ての点で全微分可能のとき、\(f(x,y)\)は\(D\)上で全微分可能であるといい、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
を\(f(x,y)\)ので全微分という。
【例題】次の関数の全微分を求めなさい。
(1)\(f(x,y)=2x+3y+4\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=2\)
\(f_y(x,y)=3\)
すなわち
\(\varepsilon(h,k)\)
\(=f(x+h,y+k)\)
\(\ \ \ -\{f(x,y)+f_x(x,y)h+f_y(x,y)k\}\)
\(=2(x+h)+3(y+k)+4\)
\(\ \ \ -\{(2x+3y+4)+2h+3k\}\)
\(=0\)
\(\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\varepsilon(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\)
\(\displaystyle =\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{0}{\sqrt{h^2+k^2}}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、全微分可能なので、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=2dx+3dy\)
\(f_x(x,y)=2\)
\(f_y(x,y)=3\)
すなわち
\(\varepsilon(h,k)\)
\(=f(x+h,y+k)\)
\(\ \ \ -\{f(x,y)+f_x(x,y)h+f_y(x,y)k\}\)
\(=2(x+h)+3(y+k)+4\)
\(\ \ \ -\{(2x+3y+4)+2h+3k\}\)
\(=0\)
\(\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\varepsilon(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\)
\(\displaystyle =\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{0}{\sqrt{h^2+k^2}}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、全微分可能なので、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=2dx+3dy\)
(2)\(f(x,y)=2x^2+3xy^2\)
偏導関数を計算すると
\(f_x(x,y)=4x+3y^2\)
\(f_y(x,y)=6xy\)
すなわち
\(\varepsilon(h,k)\)
\(=f(x+h,y+k)\)
\(\ \ \ -\{f(x,y)+f_x(x,y)h+f_y(x,y)k\}\)
\(=2(x+h)^2+3(x+h)(y+k)^2\)
\(\ \ \ -\{(2x^2+3xy^2)+(4x+3y^2)h+6xyk\}\)
\(=2h^2+6yhk+3xk^2+3hk^2\)
\(\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\varepsilon(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\)
\(\displaystyle =\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{2h^2+6yhk+3xk^2+3hk^2}{\sqrt{h^2+k^2}}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、全微分可能なので、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=(4x+3y^2)dx+6xydy\)
\(f_x(x,y)=4x+3y^2\)
\(f_y(x,y)=6xy\)
すなわち
\(\varepsilon(h,k)\)
\(=f(x+h,y+k)\)
\(\ \ \ -\{f(x,y)+f_x(x,y)h+f_y(x,y)k\}\)
\(=2(x+h)^2+3(x+h)(y+k)^2\)
\(\ \ \ -\{(2x^2+3xy^2)+(4x+3y^2)h+6xyk\}\)
\(=2h^2+6yhk+3xk^2+3hk^2\)
\(\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\varepsilon(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\)
\(\displaystyle =\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{2h^2+6yhk+3xk^2+3hk^2}{\sqrt{h^2+k^2}}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、全微分可能なので、
\(df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\)
\(=(4x+3y^2)dx+6xydy\)
接平面と全微分の幾何学的解釈
【接平面】
関数\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で全微分可能であるとき、平面
\(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
を曲面\(z=f(x,y)\)の点\((a,b,f(a,b))\)における接平面という。
【\(C^1\)級関数の全微分可能性】
関数\(f(x,y)\)が領域\(D\)上で\(C^1\)級のとき、\(f(x,y)\)は\(D\)上で全微分可能である。
【\(C^1\)級関数の連続性】
関数\(f(x,y)\)が領域\(D\)上で\(C^1\)級のとき、\(f(x,y)\)は\(D\)上で連続である。
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