【微分積分】1-1-5 漸化式の極限｜問題集
1.次の漸化式で定まる数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)の極限を求めなさい。
(1)\(a_1=2,a_{n+1}=2a_n+1\)
\(\alpha=2\alpha+1\)を解くと、\(\alpha=-1\)
求める漸化式は、
\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)
数列\(\{a_n+1\}_{n=1}^\infty\)は初項\(3\)、公比\(2\)の等比数列なので、
\(a_n+1=3・2^{n-1}\)
\(a_n=3・2^{n-1}-1\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(3・2^{n-1}-1)=\infty\)
求める漸化式は、
\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)
数列\(\{a_n+1\}_{n=1}^\infty\)は初項\(3\)、公比\(2\)の等比数列なので、
\(a_n+1=3・2^{n-1}\)
\(a_n=3・2^{n-1}-1\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(3・2^{n-1}-1)=\infty\)
(2)\(\displaystyle a_1=3,a_{n+1}=3+\frac{4}{a_n}\)
\(\displaystyle \alpha=3+\frac{4}{\alpha}\)を解くと、\(\alpha=4,-1\)
\(a_1=3>0\)より、\(\alpha>0\)となり、\(\alpha=4\)
求める漸化式は、
\(\displaystyle a_{n+1}-4=3+\frac{4}{a_n-4}\)
\(\displaystyle (a_{n+1}-4)a_n=-({a_n}-4)\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=4\)
\(a_1=3>0\)より、\(\alpha>0\)となり、\(\alpha=4\)
求める漸化式は、
\(\displaystyle a_{n+1}-4=3+\frac{4}{a_n-4}\)
\(\displaystyle (a_{n+1}-4)a_n=-({a_n}-4)\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=4\)
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