【微分積分】3-2-3 媒介変数の導関数｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「媒介変数の導関数」を要点と例題でわかりやすく解説します。媒介変数で表された曲線の接線の傾きを求める方法や、導関数の計算手順を丁寧に整理。微分の応用を理解したい方に最適です。
媒介変数の導関数の定義
【媒介変数表示の導関数】
関数\(x=g(t)\)と\(y=f(t)\)が共に微分可能で、\(x=g(t)\)に逆関数が存在して\(g'(t)\neq0\)とする。このとき、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{f'(t)}{g'(t)}\)
となる。これは簡単に
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}\)
と表す。
【例題】次の媒介変数の導関数\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)を求めなさい。
(1)\(\displaystyle x=\frac{1-t^2}{1+t^2},y=\frac{2t}{1+t^2}\)
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{-2t(1+t^2)-(1-t^2)・2t}{(1+t^2)^2}=\frac{-4t}{(1+t^2)^2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{2(1+t^2)-2t・2t}{(1+t^2)^2}=\frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}\)
よって、\(t\neq0\)ならば
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2-2t^2}{-4t}=\frac{t^2-1}{2t}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{2(1+t^2)-2t・2t}{(1+t^2)^2}=\frac{2-2t^2}{(1+t^2)^2}\)
よって、\(t\neq0\)ならば
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2-2t^2}{-4t}=\frac{t^2-1}{2t}\)
(2)\(x=t-\sin t,y=1-\cos t\ \ \ (0< t< 2\pi)\)
\(\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-\cos t\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=\sin t\)
よって、\(t\neq\pi\)ならば
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}}=\cot\frac{t}{2}\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt}=\sin t\)
よって、\(t\neq\pi\)ならば
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}}=\cot\frac{t}{2}\)
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