【微分積分】4-7-4 回転体の体積と側面積｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「回転体の体積と側面積」について整理します。体積を求める円板法・シェル法の考え方や、回転によって生じる側面積の計算方法を、公式の導出や典型例題を交えながらわかりやすく解説します。回転体の図形的イメージと計算手順を結びつけ、確かな理解を身につけていきましょう。
回転体の体積と側面積
【回転体の体積】
関数\(f(x)\)は閉区間\([a,b]\)上で連続とする。このとき、曲線\(y=f(x)\)と\(x\)軸および直線\(x=a,x=b\)で囲まれる図形を\(x\)軸のまわりに\(1\)回転して得られる回転体の体積\(V\)は
\(\displaystyle V=\pi\int_a^b\{f(x)\}^2dx\)
となる。
【回転体の側面積】
関数\(f(x)\)は閉区間\([a,b]\)上で\(C^1\)級とする。このとき、曲線\(y=f(x)\ \ \ (a\leqq x\leqq b)\)を\(x\)軸のまわりに\(1\)回転して得られる回転面の面積\(S\)は
\(\displaystyle S=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx\)
となる。
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)半径\(a\)の球の体積を求めなさい。
(2)半径\(a\)の球の表面積を求めなさい。
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